Question

10．如圖所示，用一邊長為$\sqrt{2}$的正方形硬紙，按各邊中點垂直折起四個小三角形，做成一個蛋巢，將體積為$\frac{4π}{3}$的雞蛋（視為球體）放入其中，蛋巢形狀保持不變，則雞蛋（球體）離蛋巢底面的最短距離為（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}-1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}+1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{6}-1}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$

Answer 1

分析 由條件利用球的截面的性質(zhì)求得球心到截面圓的距離，再求出垂直折起的4個小直角三角形的高，再與球的半徑相加即得答案．

解答 解：由題意可得，蛋巢的底面是邊長為1的正方形，
故經(jīng)過4個頂點截雞蛋所得的截面圓的直徑為1，
由于雞蛋的體積為$\frac{4}{3}$π，故雞蛋（球）的半徑為1，
故球心到截面圓的距離為$\sqrt{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
而垂直折起的4個小直角三角形的高為$\frac{1}{2}$，
故雞蛋最低點與蛋巢底面的距離為$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
故選：D．

點評 本題主要考查球的截面的性質(zhì)，圖形的折疊問題，點、線、面間的位置關系，屬于中檔題．