【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A(﹣2,0),B(2,0),P為不在x軸上的動(dòng)點(diǎn),直線PA,PB的斜率滿足kPAkPB.
(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡Γ的方程;
(2)若M,N是軌跡Γ上兩點(diǎn),kMN=1,求△OMN面積的最大值.
【答案】(1)(y≠0);(2)
【解析】
(1)設(shè)P(x,y)為軌跡Γ上任意一點(diǎn),根據(jù)kPAkPB,得到,化簡(jiǎn)即得解;
(2)設(shè)MN:y=x+b,聯(lián)立得到韋達(dá)定理,利用弦長(zhǎng)公式表示弦長(zhǎng)|MN|,O到直線MN的距離,繼而表示△OMN的面積,利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性,求最值即可.
(1)設(shè)P(x,y)為軌跡Γ上任意一點(diǎn),則根據(jù)kPAkPB.
即,
整理得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡Γ的方程為:(y≠0);
(2)設(shè)MN:y=x+b,聯(lián)立,
整理得5x2+8bx+4b2﹣4=0,
△=5﹣b2>0,
設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),
則x1+x2b,x1x2(b2﹣1),
|MN||x1﹣x2|,
O到直線MN的距離d,
所以△OMN面積S,
設(shè)f(b)=5b2﹣b4,
則f′(b)=10b﹣4b3=0,
解得b=0或b=±,
又因?yàn)?/span>5﹣b2>0,
故b=0或b=±
且S(0)=0,S(±),
故△OMN的面積S最大值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行,求的值,并求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)時(shí),若對(duì)任意,都有恒成立,試求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某工廠生產(chǎn)某款機(jī)器零件,因?yàn)橐缶缺容^高,所以需要對(duì)生產(chǎn)的一大批零件進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè).首先由專家根據(jù)各種系數(shù)制定了質(zhì)量指標(biāo)值,從生產(chǎn)的大批零件中選取100件作為樣本進(jìn)行評(píng)估,根據(jù)評(píng)估結(jié)果作出如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)(。└鶕(jù)直方圖求及這100個(gè)零件的樣本平均數(shù)(同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點(diǎn)值表示);
(ⅱ)以樣本估計(jì)總體,經(jīng)過(guò)專家研究,零件的質(zhì)量指標(biāo)值,試估計(jì)10000件零件質(zhì)量指標(biāo)值在內(nèi)的件數(shù);
(2)設(shè)每個(gè)零件利潤(rùn)為元,質(zhì)量指標(biāo)值為,利潤(rùn)與質(zhì)量指標(biāo)值之間滿足函數(shù)關(guān)系.假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替,試估算該批零件的平均利潤(rùn).(結(jié)果四舍五入,保留整數(shù))
參考數(shù)據(jù):,則,,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】等差數(shù)列中,,且,,成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)記為數(shù)列的前項(xiàng)和,是否存在正整數(shù),使得?若存在,求出的最小值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐S—ABCD中,底面ABCD,底面ABCD是矩形,且,E是SA的中點(diǎn).
(1)求證:平面BED平面SAB;
(2)求平面BED與平面SBC所成二面角(銳角)的大。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲乙兩個(gè)班級(jí)均為 40 人,進(jìn)行一門考試后,按學(xué)生考試成績(jī)及格與不及格進(jìn)行統(tǒng)計(jì),甲班及格人數(shù)為 36 人,乙班及格人數(shù)為 24 人.
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個(gè)22的列聯(lián)表;
(2)試判斷是否成績(jī)與班級(jí)是否有關(guān)?
參考公式:;
0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
k | 0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.84 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.83 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,分別為的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn),若的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.分別為的左、右焦點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)直線與交于兩點(diǎn),,的重心分別為.若原點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在某外國(guó)語(yǔ)學(xué)校舉行的(高中生數(shù)學(xué)建模大賽)中,參與大賽的女生與男生人數(shù)之比為,且成績(jī)分布在,分?jǐn)?shù)在以上(含)的同學(xué)獲獎(jiǎng).按女生、男生用分層抽樣的方法抽取人的成績(jī)作為樣本,得到成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示.
(Ⅰ)求的值,并計(jì)算所抽取樣本的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);
(Ⅱ)填寫下面的列聯(lián)表,并判斷在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下能否認(rèn)為“獲獎(jiǎng)與女生、男生有關(guān)”.
女生 | 男生 | 總計(jì) | |
獲獎(jiǎng) | |||
不獲獎(jiǎng) | |||
總計(jì) | |||
附表及公式:
其中,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn),過(guò)動(dòng)點(diǎn)作直線的垂線,垂足為,且.記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)的直線交曲線于不同的兩點(diǎn),.
①若為線段的中點(diǎn),求直線的方程;
②設(shè)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為,求面積的取值范圍.
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