Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，過動點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，且.記動點(diǎn)的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）過點(diǎn)的直線交曲線于不同的兩點(diǎn)，.

①若為線段的中點(diǎn)，求直線的方程；

②設(shè)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，求面積的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）①.②

【解析】

（1）設(shè)，利用直接法求曲線的方程；

（2）①由已知，分析可知直線的斜率存在且不為零，設(shè)，聯(lián)立拋物線方程，利用韋達(dá)定理解決；②將用直線的斜率表示，即，再結(jié)合的范圍即可解決.

（1）設(shè)，則．

因?yàn)?/span>，所以，

因?yàn)?/span>，所以，即.

所以曲線的方程為.

（2）①若直線的斜率不存在，則與曲線無公共點(diǎn)，因此的斜率存在；

若的斜率為0，則與曲線只有一個公共點(diǎn)，因此的斜率不為0.

設(shè)，

由得，于是，解得且．

設(shè)，，則.

因?yàn)?/span>為線段的中點(diǎn)，所以．

又，所以，

因此，所以，符合且，

于是，此時直線的方程為.

②因?yàn)辄c(diǎn)，關(guān)于軸對稱，所以，

于是點(diǎn)到直線的距離為.

因?yàn)?/span>，所以.

又，

所以.

因?yàn)?/span>，所以.

又因?yàn)?/span>且，因此，

即面積的取值范圍為.