已知正四面體ABCD的棱長為1，球O與正四面體的各棱都相切，且球心在正四面體的內(nèi)部，則球O的表面積為


  1. A.
    4π
  2. B.
    2π
  3. C.
    數(shù)學公式
  4. D.
    數(shù)學公式
C
分析：將正四面體ABCD，補成正方體，則正四面體ABCD的棱為正方體的面上對角線，根據(jù)球O與正四面體的各棱都相切，且球心在正四面體的內(nèi)部，可得球O是正方體的內(nèi)切球，從而可求球O的表面積．
解答：將正四面體ABCD，補成正方體，則正四面體ABCD的棱為正方體的面上對角線
∵正四面體ABCD的棱長為1
∴正方體的棱長為
∵球O與正四面體的各棱都相切，且球心在正四面體的內(nèi)部，
∴球O是正方體的內(nèi)切球，其直徑為
∴球O的表面積為
故選C
點評：本題考查球的表面積公式解題的關鍵是將正四面體ABCD，補成正方體，使得球O是正方體的內(nèi)切球．
練習冊系列答案
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已知正四面體ABCD的表面積為S，其四個面的中心分別為E、F、G、H．設四面體EFGH的表面積為T，則
T
S
等于（　　）
A、
1
9
B、
4
9
C、
1
4
D、
1
3

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已知正四面體ABCD的各棱長為a，
（1）求正四面體ABCD的表面積；
（2）求正四面體ABCD外接球的半徑R與內(nèi)切球的體積V內(nèi)．

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（2009•大連二模）已知正四面體ABCD的所有棱長均為3
6
，頂點A、B、C在半球的底面內(nèi)，頂點D在半球面上，且D點在半球底面上的射影為半球的球心，則此半球的體積為
144π
144π
．

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已知正四面體ABCD的棱長為1，若以
AB
的方向為左視方向，則該正四面體的左視圖與俯視圖面積和的取值范圍為
 
．

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