Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AB=AC=AA₁，M是CC₁的中點，N是BC的中點，點P為線段A₁B₁上的動點，
（Ⅰ）判斷異面直線PN和AM所成的角的大小是否變化，并證明你的結(jié)論；
（Ⅱ）當(dāng)直線PN和平面ABC所成角最大時，試確定點P的位置．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,異面直線及其所成的角

專題：綜合題

分析：（Ⅰ）取AC的中點O，連接A₁O，NO，則A₁O是PN在平面A₁C中的射影，證明AM⊥A₁O，即可得出結(jié)論；
（Ⅱ）設(shè)PD⊥AB，則PD⊥平面ABC，連接DN，則∠PND為直線PN和平面ABC所成角，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（I）不變；
取AC的中點O，連接A₁O，NO，則A₁O是PN在平面A₁C中的射影，
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=AA₁，M是CC₁的中點，
∴AM⊥A₁O，∴AM⊥PN，
∴異面直線PN和AM所成的角為90°；
（II）設(shè)PD⊥AB，則PD⊥平面ABC，連接DN，則∠PND為直線PN和平面ABC所成角，
∴tan∠PND=

PD

DN

，
∴DN最小時，直線PN和平面ABC所成角最大，此時P為A₁B₁的中點．

點評：本題考查異面直線PN和AM所成的角，考查直線PN和平面ABC所成角最大，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．