Question

如圖，在四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點(diǎn)，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=

2

（Ⅰ）求證：AO⊥平面BCD；
（Ⅱ）求點(diǎn)E到平面ACD的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（I）欲證AO⊥平面BCD，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證AO與平面BCD內(nèi)兩相交直線垂直，而CO⊥BD，AO⊥OC，BD∩OC=O，滿足定理；
（II）設(shè)點(diǎn)E到平面ACD的距離為h．在△ACD中，CA=CD=2，AD=

2

，故S_△ACD=

1

2

×

2

×

4- 1 2

=

7

2

，由AO=1，知S_△CDE=

1

2

×

3

4

×22=

3

2

，由此能求出點(diǎn)E到平面ACD的距離．

解答： （Ⅰ）證明：連接OC，
∵BO=DO，AB=AD，
∴AO⊥BD．
∵BO=DO，BC=CD，
∴CO⊥BD．
在△AOC中，由已知可得AO=1，CO=

3

．
而AC=2，
∴AO²+CO²=AC²，
∴∠AOC=90°，即AO⊥OC．
∵BD∩OC=O，
∴AO⊥平面BCD
（Ⅱ）解：設(shè)點(diǎn)E到平面ACD的距離為h．
∵V_E-ACD=V_A-CDE，
∴

1

3

h•S△ACD=

1

3

•AO•S△CDE
在△ACD中，CA=CD=2，AD=

2

，
∴S_△ACD=

1

2

×

2

×

4- 1 2

=

7

2

，
∵AO=1，S_△CDE=

1

2

×

3

4

×22=

3

2

，
∴h=

21

7

，
∴點(diǎn)E到平面ACD的距離為

21

7

．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系以及點(diǎn)到平面的距離基本知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力．