Question

在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，PA⊥底面ABCD，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=1，AD=AP=2，E為PD的中點．以A為坐標(biāo)原點，分別以AB、AD、AP為x軸、y軸、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系O-xyz．
（1）求

BE

的模；
（2）求＜

AE

，

DC

＞；（求異面直線AE與CD所成的角）；
（3）設(shè)

n

=（1，p，q），滿足

n

⊥平面PCD，求

n

的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：空間向量的數(shù)量積運算

專題：空間向量及應(yīng)用

分析：（1）由已知可得相關(guān)點的坐標(biāo)，可得

BE

的坐標(biāo)，由模長公式可得；
（2）由題意可得

AE

和

DC

的坐標(biāo)，可得夾角余弦值，可得夾角；
（3）由垂直可得

n

•

PD

=2p-2q=0且 

n

•

CD

=-1+p=0，解方程組可得．

解答： 解：（1）由已知可得A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），
D（0，2，0），P（0，0，2），∵E為PD的中點，∴E（0，1，1）．
∴|

BE

|=

(0-1)2+(1-0)2+(1-0)2

=

3

；
（2）

AE

=（0，1，1），

DC

=(1，-1，0)．
∴cos＜

AE

，

DC

＞=

AE • CD

| AE |•| CD |

=-

1

2 • 2

=-

1

2

，
∵＜

AE

，

DC

＞∈[0，π]，∴＜

AE

，

DC

＞=

2π

3

，即異面直線AE與CD所成的角為60°；
（3）∵

n

⊥平面PCD，∴

n

⊥PD，

n

⊥CD，
又 

n

=（1，p，q），

PD

=(0，2，-2)，

CD

=(-1，1，0)，
∴

n

•

PD

=2p-2q=0，

n

•

CD

=-1+p=0，
解得p=1且q=1，即

n

=（1，1，1）

點評：本題考查空間向量的數(shù)量積和模長公式，屬基礎(chǔ)題．