Question

已知函數(shù)f（x）=

2x+1

x

，數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，an+1=f(

1

an

)， n∈N*．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）令T_n=a₁-a₂+a₃-a₄+…+a_2n-1-a_2n，求T_n；
（3）令b_n=

1

an-1an

（n≥2），b₁=3，S_n=b₁+b₂+…+b_n，S_n＜

m-2005

2

對一切n∈N^*成立，求最小正整數(shù)m．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列與不等式的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）直接利用定義和已知條件求出通項公式，
（2）利用（1）的結(jié)論對通向公式進(jìn)行變形，求得前n項和．
（3）利用（1）的結(jié)論和已知條件求得通項公式，進(jìn)一步利用相消法求解，然后利用恒成立問題求出結(jié)果．

解答： 解：（1）an=f(an-1)=

2+an-1

1

=2+an-1，
所以：a_n-a_n-1=2，
∴{a_n}是以2為公差的等差數(shù)列．
又a₁=1，
∴a_n=2n-1．
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論：
得到：a_n-1-a_n=-2，
T_n=a₁-a₂+a₃-a₄+…+a_2n-1-a_2n=（a₁-a_2）+（a₃-a_4）+…+（a_2n-1-a_2n）
=-2n，所以：T_n=-2n；
（3）當(dāng)n≥2時，bn=

1

an-1an

=

1

2

(

1

2n-3

-

1

2n-1

)，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n
=3+

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-3

-

1

2n-1

)
=

7

2

-

1

4n-2

．
由于：Sn＜

m-2005

2

，
只需滿足

7

2

-

1

4n-2

＜

m-2005

2

對一切n⁺恒成立即可．
由于

7

2

-

1

4n-2

＜

7

2

，
所以：

m-2005

2

≥

7

2

，
解得：m≥2012．
最小正整數(shù)m=2012．

點評：本題考查的知識要點：等差數(shù)列的通項公式的應(yīng)用，前n項和的應(yīng)用，裂項相消法的應(yīng)用，恒成立問題的應(yīng)用，屬于中等題型．