【題目】在三棱柱中，，側(cè)面是邊長為2的正方形，點，分別在線段、上，且，，.

（Ⅰ）證明：平面平面；

（Ⅱ）若，求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

試題（1）取線段中點，連接．通過證明，從而有，而，所以面，面，所以面面；（2）記線段中點為，連接，由（1）知，兩兩互相垂直，以為坐標原點，分別以為正交基底建立如圖所示空間直角坐標系.用法向量的方法求直線與平面所成角的正弦值為.

試題解析：

解：

（1）取線段中點，連接．

在正方形中，，

在和中，，

又，所以，

∴，

從而，

所以，即2分

又，

所以面．

面，

∴4分

在等腰三角形中，，又與相交，知

∴面，

面，∴面面6分

（2）

在等腰三角形中，由知，且，

記線段中點為，連接，由（1）知，兩兩互相垂直，

以為坐標原點，分別以為正交基底建立如圖所示空間直角坐標系，則

8分

設(shè)平面的法向量為，則，即

，

取，則，從而得到平面的一個法向量10分

，記直線與平面所成角為，

則．

故直線與平面所成角的正弦值為12分

練習(xí)冊系列答案
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【題目】如圖，在四棱錐中，底面為等腰梯形，，其中點在以為直徑的圓上，，，，平面平面.

（1）證明：平面.

（2）求二面角的正弦值.

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【題目】若雙曲線與雙曲線有共同的漸近線，且過點.

（1）求雙曲線的方程；

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(1)證明平面AEC丄平面PCD;

(2)若二面角的平面角滿足，求四棱錐 的體積.

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（1）若函數(shù)的圖象在處的切線與直線垂直，求的值；

（2）關(guān)于的不等式在上恒成立，求的取值范圍；

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【題目】如圖,正方形中,分別是的中點將分別沿折起,使重合于點.則下列結(jié)論正確的是（ ）

A.

B. 平面

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（1）求的方程；

（2）過點的直線交于,兩點,以為直徑的圓與平行于軸的直線相切于點,線段交于點,證明：的面積是的面積的四倍.

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【題目】由中央電視臺綜合頻道（）和唯眾傳媒聯(lián)合制作的《開講啦》是中國首檔青春電視公開課。每期節(jié)目由一位知名人士講述自己的故事，分享他們對于生活和生命的感悟，給予中國青年現(xiàn)實的討論和心靈的滋養(yǎng)，討論青年們的人生問題，同時也在討論青春中國的社會問題，受到青年觀眾的喜愛，為了了解觀眾對節(jié)目的喜愛程度，電視臺隨機調(diào)查了、兩個地區(qū)的100名觀眾，得到如下的列聯(lián)表：

非常滿意

滿意

合計

30

合計

已知在被調(diào)查的100名觀眾中隨機抽取1名，該觀眾是地區(qū)當中“非常滿意”的觀眾的概率為，且.

（Ⅰ）現(xiàn)從100名觀眾中用分層抽樣的方法抽取20名進行問卷調(diào)查，則應(yīng)抽取“滿意”的、地區(qū)的人數(shù)各是多少；

（Ⅱ）完成上述表格，并根據(jù)表格判斷是否有的把握認為觀眾的滿意程度與所在地區(qū)有關(guān)系；

（Ⅲ）若以抽樣調(diào)查的頻率為概率，從地區(qū)隨機抽取3人，設(shè)抽到的觀眾“非常滿意”的人數(shù)為，求的分布列和期望.

附：參考公式：

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