Question

2．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，首項(xiàng)為a₁，且S_n=2a_n-$\frac{1}{2}$．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若b_n=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（a_n）²，設(shè)cn=$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用遞推公式、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）利用“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（1）∵S_n=2a_n-$\frac{1}{2}$，∴${a}_{1}=2{a}_{1}-\frac{1}{2}$，解得a₁=$\frac{1}{2}$；當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-$\frac{1}{2}$-$（2{a}_{n-1}-\frac{1}{2}）$，化為：${a}_{n}=\frac{1}{2}{a}_{n-1}$．
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為$\frac{1}{2}$，公比為$\frac{1}{2}$，∴a_n=$（\frac{1}{2}）^{n}$．
（2）b_n=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（a_n）²=2n．
c_n=$\frac{_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{2n}{（\frac{1}{2}）^{n}}$=n•2ⁿ⁺¹，
∴數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n=2²+2×2³+3×2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，
∴2T_n=2³+2×2⁴+…+（n-1）•2ⁿ⁺¹+n•2ⁿ⁺²，
∴-T_n=2²+2³+…+2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺²=$\frac{4（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n•2ⁿ⁺²=（1-n）•2ⁿ⁺²-4，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺²+4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式、遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．