Question

若兔子和狐貍的生態(tài)模型為（n≥1），對(duì)初始群，討論第n年種群數(shù)量α_n及當(dāng)n越來(lái)越大時(shí)，種群數(shù)量α_n的變化趨勢(shì)．

Answer 1

【答案】分析：欲討論第n年種群數(shù)量α_n及當(dāng)n越來(lái)越大時(shí)，種群數(shù)量α_n的變化趨勢(shì)，根據(jù)兔子和狐貍的生態(tài)模型可知，只須求出α_n=Mⁿα，關(guān)鍵是求出Mⁿ，故先求出矩陣M的特征向量，再利用特征向量進(jìn)行計(jì)算即可．
解答：解：，，α_n=Mα_n-1=M（Mα_n-2）=M²α_n-2═Mⁿα
M的特征值λ₁=1，對(duì)應(yīng)的特征向量
對(duì)應(yīng)的特征向量
，
=30α₁+10α₂，α_n=Mⁿα=30λ₁ⁿα₁+10λ₂ⁿα₂
=，
當(dāng)n越來(lái)越大時(shí)，（0.5）ⁿ趨向于0，
α_n趨向于，即兔子和狐貍的數(shù)量趨于穩(wěn)定在90和30．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了矩陣特征值與特征向量的計(jì)算及應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．