Question

16．已知函數(shù)$f（x）=\frac{kx-1}{x+1}$
（Ⅰ）若f（x）在（-1，+∞）上是增函數(shù)，求k的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)x＞0時，f（x）＜ln（x+1）恒成立，求整數(shù)k的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若f（x）在（-1，+∞）上是增函數(shù)，轉(zhuǎn)化為f′（x）≥0恒成立，即可求k的取值范圍；
（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值即可得到結(jié)論．

解答 解：（I）因為$f'（x）=\frac{k+1}{{{{（x+1）}^2}}}≥0$在（-1，+∞）上恒成立，所以k≥-1．
又當(dāng)k=-1時，f（x）是常函數(shù)，所以k＞-1．…（4分）
（II）設(shè)$g（x）=\frac{kx-1}{x+1}-ln（x+1），（x＞0）$則$g'（x）=\frac{-x+k}{{{{（x+1）}^2}}}$
（i）當(dāng)k≤0時，g'（x）＜0，g（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，
所以，g（x）＜g（0）=-1＜0，不等式f（x）＜ln（x+1）恒成立．…（7分）
（ii）當(dāng)k＞0時，x∈（0，k）時，g'（x）＞0，g（x）是增函數(shù)．
x∈（k，+∞）時，g'（x）＜0，g（x）是減函數(shù)．
所以，g（x）≤g（k）=k-1-ln（k+1）
要使不等式f（x）＜ln（x+1）恒成立，只需k-1-ln（k+1）＜0恒成立．
設(shè)h（x）=x-1-ln（x+1），（x＞0）
則$h'（x）=1-\frac{1}{x+1}＞0$，所以，h（x）在（0，+∞）是增函數(shù)．
又h（2）=1-ln3＜0，h（3）=2-ln4＞0
所以，整數(shù)k的最大值為2．…（12分）

點評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，以及不等式恒成立問題，構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)問題是解決本題的關(guān)鍵．