Question

7．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=2，且點(diǎn)A_n（$\sqrt{{S}_{n}}$，$\sqrt{{S}_{n-1}}$）（n≥2）在曲線x²-y²=2n上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令b_n=$\frac{1}{（{a}_{n}-1）（{a}_{n}+1）}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)A_n（$\sqrt{{S}_{n}}$，$\sqrt{{S}_{n-1}}$）（n≥2）在曲線x²-y²=2n上．可得S_n-S_n-1=2n（n≥2），即可得出．
（2）b_n=$\frac{1}{（{a}_{n}-1）（{a}_{n}+1）}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．即可得出．

解答 解：（1）由點(diǎn)A_n（$\sqrt{{S}_{n}}$，$\sqrt{{S}_{n-1}}$）（n≥2）在曲線x²-y²=2n上．
∴S_n-S_n-1=2n（n≥2），
即a_n=2n（n≥2），
又a₁=2也適合上式，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2n（n∈N^*）．
（2）b_n=$\frac{1}{（{a}_{n}-1）（{a}_{n}+1）}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$．
∴T_n=$\frac{1}{2}$$[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$
=$\frac{1}{2}$$（1-\frac{1}{2n+1}）$
=$\frac{n}{2n+1}$．

點(diǎn)評 本題考查了遞推關(guān)系、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．