Question

對于函數f（x），若在其定義域內存在兩個實數a，b（a＜b），使當x∈[a，b]時，f（x）的值域也是[a，b]，則稱函數f（x）為“布林函數”，區(qū)間[a，b]稱為函數f（x）的“等域區(qū)間”．若函數f（x）=k+

x+2

是布林函數，則實數k的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數的值域

專題：函數的性質及應用

分析：由f（x）=k+

x+2

是增函數，結合布林函數的概念可得，則存在實數a，b（-2≤a＜b），使

f(a)=a f(b)=b

，由此可得a，b是方程x=k+

x+2

的量和實數根，從而方程k=x-

x+2

有兩個不等實根，令

x+2

=t換元后結合圖象得答案．

解答： 解：∵f（x）=k+

x+2

是增函數，若f（x）=k+

x+2

是布林函數，
則存在實數a，b（-2≤a＜b），使

f(a)=a f(b)=b

，即

a=k+ a+2 b=k+ b+2

，
∴a，b是方程x=k+

x+2

的量和實數根，
從而方程k=x-

x+2

有兩個不等實根，
令

x+2

=t，則k=t²-t-2（t≥0），
如圖，

當t=0時，k=-2；當t=

1

2

時，k=-

9

4

．
由圖可知，當-

9

4

＜k≤-2時，直線y=k與曲線y=t²-t-2（t≥0）有兩個不同交點．
即方程k=x-

x+2

有兩個不等實根．
∴實數k的取值范圍是(-

9

4

，-2]．
故答案為：(-

9

4

，-2]．

點評：本題是新概念題，考查了方程的根與函數的圖象，考查了函數的值域，是中檔題．