Question

已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓Ω，它的離心率為

1

2

，一個(gè)焦點(diǎn)和拋物線y²=-4x的焦點(diǎn)重合，過直線l：x=4上一點(diǎn)M引橢圓Ω的兩條切線，切點(diǎn)分別是A，B．
（Ⅰ）求橢圓Ω的方程；
（Ⅱ）若在橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上的點(diǎn)（x₀，y₀）處的橢圓的切線方程是

x0x

a2

+

y0y

b2

=1．求證：直線AB恒過定點(diǎn)C；并出求定點(diǎn)C的坐標(biāo)．
（Ⅲ）是否存在實(shí)數(shù)λ，使得|AC|+|BC|=λ|AC|•|BC|恒成立？（點(diǎn)C為直線AB恒過的定點(diǎn)）若存在，求出λ的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，根據(jù)它的一個(gè)焦點(diǎn)和拋物線y²=-4x的焦點(diǎn)重合，從而求出c值，再求出a和b的值，從而求解；
（Ⅱ）切點(diǎn)坐標(biāo)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l上一點(diǎn)M的坐標(biāo)（4，t），求出切線方程，再把點(diǎn)M代入切線方程，說明點(diǎn)A，B的坐標(biāo)都適合方程x+

t

3

y=1，而兩點(diǎn)之間確定唯一的一條直線，從而求出定點(diǎn)；
（Ⅲ）聯(lián)立直線方程和橢圓的方程進(jìn)行聯(lián)立，求出兩根的積和兩根的和，求出|AC|，|BC|的長(zhǎng)，求出λ的值看在不在，再進(jìn)行判斷；

解答：解：（I）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．
拋物線y²=-4x的焦點(diǎn)是（-1，0），故c=1，又

c

a

=

1

2

，
所以a=2，b=

a2-c2

=

3

，
所以所求的橢圓Ω方程為

x2

4

+

y2

3

=1…（4分）
（II）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直線l上一點(diǎn)M的坐標(biāo)（4，t）．
則切線方程分別為

x1x

4

+

y1y

3

=1，

x2x

4

+

y2y

3

=1．
又兩切線均過點(diǎn)M，
即x1+

t

3

y1=1，x2+

t

3

y2=1，
即點(diǎn)A，B的坐標(biāo)都適合方程x+

t

3

y=1，而兩點(diǎn)之間確定唯一的一條直線，
故直線AB的方程是x+

t

3

y=1，顯然對(duì)任意實(shí)數(shù)t，點(diǎn)（1，0）都適合這個(gè)方程，
故直線AB恒過定點(diǎn)C（1，0）．           …（9分）
（III）將直線AB的方程x=-

t

3

y+1，代入橢圓方程，
得3(-

t

3

y+1)2+4y2-12=0，即(

t2

3

+4) y2-2ty-9=0
所以y1+y2=

6t

t2+12

，y1y2=

-27

t2+12

不妨設(shè)y₁＞0，y₂＜0|AC|=

(x1-1)2+ y 2 1

=

( t2 9 +1) y 2 1

=

t2+9

3

y1，
同理|BC|=-

t2+9

3

y2…（12分）
所以

1

|AC|

+

1

|BC|

=

3

t2+9

•(

1

y1

-

1

y2

)=

3

t2+9

•

y2-y1

y1y2

=-

3

t2+9

•

(y2-y1)2

y1y2

=-

3

t2+9

•

( 6t t2+12 )2+ 108 t2+12

-27 t2+12

=

1

t2+9

•

144t2+9×144

9

=

4

3

即|AC|+|BC|=

4

3

|AC|•|BC|．
故存在實(shí)數(shù)λ=

4

3

，使得|AC|+|BC|=λ|AC|•|BC|．   …（15分）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線方程，第三問是一個(gè)存在性問題，利用了根與系數(shù)的關(guān)系，需要聯(lián)立方程，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，是一道難題；