Question

14．已知函數(shù)f（x）=log₃（2^x+1）+$\frac{a}{lo{g}_{3}（{2}^{x}+1）}$，給出如下兩個命題：
p₁：若a=-2，則y=f（x）在（$\frac{2}{3}$，+∞）上只有一個零點；
p₂：?a∈[-2，-$\frac{1}{2}$]，函數(shù)y=|f（x）|在[-$\frac{1}{2}$，3]上單調(diào)遞增；
則下列命題正確的是（　　）

• A． ￢p₁
• B． （￢p₁）∨p₂
• C． p₁∧p₂
• D． p₁∧（￢p₂）

Answer 1

分析 對于命題p₁：令$lo{g}_{3}（{2}^{x}+1）$=t，則t＞$lo{g}_{3}（{2}^{\frac{2}{3}}+1）$∈（log₃2，1）．令g（t）=t-$\frac{2}{t}$，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可判斷出命題的真假．
對于p₂：令$lo{g}_{3}（{2}^{x}+1）$=t，由x∈[-$\frac{1}{2}$，3]，可得t∈$[lo{g}_{3}（\frac{\sqrt{2}}{2}+1），2]$，$lo{g}_{3}（\frac{\sqrt{2}}{2}+1）$∈$（\frac{1}{3}，\frac{1}{2}）$．函數(shù)y=|f（x）|=$|t+\frac{a}{t}|$，令h（t）=t+$\frac{a}{t}$，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，可得其值域，進而判斷出函數(shù)y=|f（x）|在[-$\frac{1}{2}$，3]上不單調(diào)．即可判斷出真假．

解答 解：對于命題p₁：令$lo{g}_{3}（{2}^{x}+1）$=t，則t＞$lo{g}_{3}（{2}^{\frac{2}{3}}+1）$∈（log₃2，1）．
令g（t）=t-$\frac{2}{t}$，則g′（t）=1+$\frac{2}{{t}^{2}}$＞0，
∴函數(shù)g（t）在（$lo{g}_{3}（{2}^{\frac{2}{3}}+1）$，+∞）上單調(diào)遞增．
令g（t）=0，解得t=$\sqrt{2}$，可知：$lo{g}_{3}（{2}^{x}+1）$=$\sqrt{2}$，解得x=$lo{g}_{2}（{3}^{\sqrt{2}}-1）$為唯一一個零點，因此是真命題．
對于p₂：令$lo{g}_{3}（{2}^{x}+1）$=t，∵x∈[-$\frac{1}{2}$，3]，
∴t∈$[lo{g}_{3}（\frac{\sqrt{2}}{2}+1），2]$，$lo{g}_{3}（\frac{\sqrt{2}}{2}+1）$∈$（\frac{1}{3}，\frac{1}{2}）$．
函數(shù)y=|f（x）|=$|t+\frac{a}{t}|$，令h（t）=t+$\frac{a}{t}$，h′（t）=1-$\frac{a}{{t}^{2}}$＞0，
∴函數(shù)h（t）在t∈$[lo{g}_{3}（\frac{\sqrt{2}}{2}+1），2]$內(nèi)單調(diào)遞增，
∵a∈[-2，-$\frac{1}{2}$]，∴$h（lo{g}_{3}（\frac{\sqrt{2}}{2}+1））$=$lo{g}_{3}（\frac{\sqrt{2}}{2}+1）$+$\frac{a}{lo{g}_{3}（\frac{\sqrt{2}}{2}+1）}$＜0，
而h（2）=$2+\frac{a}{2}$≥1，因此函數(shù)y=|f（x）|在[-$\frac{1}{2}$，3]上不單調(diào)，因此是假命題．
綜上可知：只有p₁∧（￢p₂）是真命題．
故選：D．

點評 本題考查了復(fù)合命題真假的判定方法、函數(shù)的性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．