Question

2．已知z=x+2y，其中實數(shù)x，y滿足$\left\{{\begin{array}{l}{y≥x}\\{x+y≤2}\\{x≥\frac{1}{2}}\end{array}}\right.$，則z的最大值是z的最小值的$\frac{7}{3}$倍．

Answer 1

分析 作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識，通過平移即可求z的最大值和最小值．

解答 解：由z=x+2y，得$y=-\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}$，作出不等式對應(yīng)的可行域，
平移直線$y=-\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}$，由平移可知當直線$y=-\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}$經(jīng)過點A時，直線$y=-\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}$的截距最小，此時z取得最小值，由$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=x}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，即A（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），代入z=x+2y，得z=$\frac{1}{2}$+2×$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
當直線$y=-\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}$經(jīng)過點B時，直線$y=-\frac{1}{2}x+\frac{z}{2}$的截距最大，此時z取得最大值，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{x+y=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，即B（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$），代入z=x+2y=$\frac{1}{2}$+2×$\frac{3}{2}$=$\frac{7}{2}$，
則$\frac{\frac{7}{2}}{\frac{3}{2}}$=$\frac{7}{3}$．
即z的最大值是z的最小值的$\frac{7}{3}$倍，
故答案為：$\frac{7}{3}$．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用圖象平行求得目標函數(shù)的最大值和最小值，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃問題中的基本方法．