Question

2．已知曲線y=$\frac{1}{{e}^{x}+1}$，則曲線的切線斜率取得最小值時(shí)的直線方程為（　�。�

• A． x+4y-2=0
• B． x-4y+2=0
• C． 4x+2y-1=0
• D． 4x-2y-1=0

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，再由基本不等式可得切線的斜率的最小值，可得切點(diǎn)的坐標(biāo)，再由斜截式方程，即可得到切線方程．

解答 解：y=$\frac{1}{{e}^{x}+1}$的導(dǎo)數(shù)為y′=-$\frac{{e}^{x}}{（{e}^{x}+1）^{2}}$，
即有-$\frac{{e}^{x}}{（{e}^{x}+1）^{2}}$=-$\frac{1}{{e}^{x}+{e}^{-x}+2}$≥-$\frac{1}{2\sqrt{{e}^{x}•{e}^{-x}}+2}$=-$\frac{1}{4}$．
當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，取得等號(hào)．
即有切線的斜率為k=-$\frac{1}{4}$，切點(diǎn)為（0，$\frac{1}{2}$），
則切線的方程為y=-$\frac{1}{4}$x+$\frac{1}{2}$，
即為x+4y-2=0．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程，考查基本不等式的運(yùn)用：求最值，考查運(yùn)算能力，正確求導(dǎo)是解題的關(guān)鍵．