設(是自然對數(shù)的底數(shù)，)，且．
（1）求實數(shù)的值，并求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）設，對任意，恒有成立．求實數(shù)的取值范圍；
（3）若正實數(shù)滿足，，試證明：；并進一步判斷：當正實數(shù)滿足，且是互不相等的實數(shù)時，不等式是否仍然成立．

（1）參考解析;（2）;（3）成立,參考解析

解析試題分析：（1）由(是自然對數(shù)的底數(shù)，)，且,即可求出.再根據(jù)導函數(shù)的值即可求出單調(diào)區(qū)間.
（2）對任意，恒有成立,通過去分母,整理成兩個函數(shù)的單調(diào)性的問題即，則在上單調(diào)遞增,又,再通過求導即可得到m的取值范圍.
（3）若正實數(shù)滿足，，則.通過代入函數(shù)關系式消元再用基本不等式即可得到結(jié)論.當，且是互不相等的實數(shù)時，不等式是否仍然成立.有數(shù)學歸納法證明,當n=k+1時利用轉(zhuǎn)化為k項的形式.再通過構(gòu)造即可得到結(jié)論.
（1）∵，，故．           1分
令得；令得.      3分
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為．      4分
（2）由變形得：．     5分
令函數(shù)，則在上單調(diào)遞增.           6分
即在上恒成立.           7分
而（當且僅當時取“=”）
所以．                             9分
（3）證明：不妨設，由得：






其中，故上式的符號由因式“”的符號確定．
令，則函數(shù)．
，其中，得，故．即在上單調(diào)遞減，且．所以．
從而有成立．
該不等式能更進一步推廣：
已知，是互不相等的實數(shù)，若正實數(shù)

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

經(jīng)英國相關機構(gòu)判斷，MH370在南印度洋海域消失.中國兩艦艇隨即在邊長為100海里的某正方形ABCD（如圖）海域內(nèi)展開搜索.兩艘搜救船在A處同時出發(fā)，沿直線AP、AQ向前聯(lián)合搜索，且（其中點P、Q分別在邊BC、CD上），搜索區(qū)域為平面四邊形APCQ圍成的海平面.設，搜索區(qū)域的面積為.
（1）試建立與的關系式，并指出的取值范圍；
（2）求的最大值，并求此時的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知定義域為的函數(shù)同時滿足以下三個條件：
①對任意的，總有；
②；
③當，且時，成立．
稱這樣的函數(shù)為“友誼函數(shù)”．
請解答下列各題：
(1)已知為“友誼函數(shù)”，求的值；
(2)函數(shù)在區(qū)間上是否為“友誼函數(shù)”？請給出理由；
(3)已知為“友誼函數(shù)”，假定存在，使得，且，求證：.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)（為實常數(shù)）．
（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）設在區(qū)間上的最小值為，求的表達式．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

某公司為一家制冷設備廠設計生產(chǎn)一種長方形薄板，其周長為4米，這種薄板須沿其對角線折疊后使用．如圖所示，ABCD(AB>AD)為長方形薄板，沿AC折疊后，AB′交DC于點P.當△ADP的面積最大時最節(jié)能，凹多邊形ACB′PD的面積最大時制冷效果最好．

(1)設AB＝x(米)，用x表示圖中DP的長度，并寫出x的取值范圍；
(2)若要求最節(jié)能，應怎樣設計薄板的長和寬？
(3)若要求制冷效果最好，應怎樣設計薄板的長和寬？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

對于函數(shù)f(x)若存在x0∈R，f(x0)＝x0成立，則稱x0為f(x)的不動點．已知f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1(a≠0)．
(1)當a＝1，b＝－2時，求函數(shù)f(x)的不動點；
(2)若對任意實數(shù)b，函數(shù)f(x)恒有兩個相異的不動點，求a的取值范圍；
(3)在(2)的條件下，若y＝f(x)圖象上A，B兩點的橫坐標是函數(shù)f(x)的不動點，且A，B兩點關于直線y＝kx＋對稱，求b的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

(2014·孝感模擬)已知定義在區(qū)間[0,2]上的兩個函數(shù)f(x)和g(x),其中f(x)=-x2+2ax+1+a2,g(x)=x-+.
(1)求函數(shù)f(x)的最小值.
(2)對于?x1,x2∈[0,2],f(x1)>g(x2)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

為了凈化空氣，某科研單位根據(jù)實驗得出，在一定范圍內(nèi)，每噴灑1個單位的凈化劑，空氣中釋放的濃度y（單位：毫克/立方米）隨著時間(單位：天)變化的函數(shù)關系式近似為若多次噴灑，則某一時刻空氣中的凈化劑濃度為每次投放的凈化劑在相應時刻所釋放的濃度之和．由實驗知,當空氣中凈化劑的濃度不低于4(毫克/立方米)時，它才能起到凈化空氣的作用．
（1）若一次噴灑4個單位的凈化劑，則凈化時間可達幾天?
（2）若第一次噴灑2個單位的凈化劑，6天后再噴灑a（）個單位的藥劑，要使接下來的4天中能夠持續(xù)有效凈化，試求的最小值（精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：取1.4）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知冪函數(shù)f(x)＝x(m2＋m)－1(m∈N*)，經(jīng)過點(2，)，試確定m的值，并求滿足條件f(2－a)>f(a－1)的實數(shù)a的取值范圍．

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