【題目】已知函數(shù)，其中為正實數(shù).

討論函數(shù)的單調(diào)性；

若存在，使得不等式成立，求的取值范圍.

【答案】當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；.

【解析】

由題意可知的定義域為，， 令，得，，分類討論，，時導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性；

若存在，使得不等式成立，則時，.由可知，當(dāng)，即時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，；當(dāng)，即時，由知在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，當(dāng)，即時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，，不成立，進而得出結(jié)論.

解：的定義域為.

.

令，得，.

當(dāng)時，即時，

令，得，或；

令，得，

故在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.

當(dāng)時，即時，恒成立，故在區(qū)間上單調(diào)遞增

當(dāng)時，即時，令，得，或；

令，得，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.

綜上所述：當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.

若存在，

使得不等式成立，

則時，.

由可知，當(dāng)，即時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，

，解得，

；

當(dāng)，即時，

由知在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

.

令，

，

則，

函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.

恒成立，.

當(dāng)，即時，

函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，

，不成立.

綜上所述，的取值范圍是.

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方案一：底薪1800元，設(shè)每月送快遞單，提成(單位：元)為

方案二：底薪2000元，設(shè)每月送快遞單，提成(單位：元)為

以下該公司某職工小甲在2019年9月份(30天)送快遞的數(shù)據(jù)，

日送快遞單數(shù)

11

13

14

15

16

18

天數(shù)

4

5

12

3

5

1

（1）從小甲日送快遞單數(shù)大于15的六天中抽取兩天，求這兩天他送的快遞單數(shù)恰好都為16單的概率.

（2）請你利用所學(xué)的統(tǒng)計學(xué)知識為小甲9月份選擇合適的發(fā)放薪水的方案，并說明理由.

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(Ⅰ)求取出的3個球中至少有一個紅球的概率；

(Ⅱ)求取出的3個球得分之和恰為1分的概率；

(Ⅲ)設(shè)為取出的3個球中白色球的個數(shù)，求的分布列及期望.

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（Ⅱ）設(shè)，求證：；

（Ⅲ）若對于恒成立，求的最大值．

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2012年

2013年

2014年

2015年

2016年

資金投入量x（千萬元）

1.5

1.4

1.9

1.6

2.1

垃圾處理量y（千萬噸）

7.4

7.0

9.2

7.9

10.0

（1）若從統(tǒng)計的5年中任取2年，求這2年的垃圾處理量至少有一年不低于8.0（千萬噸）的概率；

（2）由表中數(shù)據(jù)求得線性回歸方程為，該垃圾處理廠計劃2017年的垃圾處理量不低于9.0千萬噸，現(xiàn)由垃圾處理廠決策部門獲悉2017年的資金投入量約為1.8千萬元，請你預(yù)測2017年能否完成垃圾處理任務(wù)，若不能，缺口約為多少千萬噸？

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