Question

8．設(shè)函數(shù)$f（x）=lnx-\frac{1}{2}a{x^2}+bx（a＞0），f'（1）=0$．
（1）用含a的式子表示b；
（2）令F（x）=$f（x）+\frac{1}{2}a{x^2}-bx+\frac{a}{x}（0＜x≤3）$，其圖象上任意一點(diǎn)P（x₀，y₀）處切線的斜率$k≤\frac{1}{2}$恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）若a=2，試求f（x）在區(qū)間$[c，c+\frac{1}{2}]（c＞0）$上的最大值．

Answer 1

分析 （1）先求導(dǎo)，再代值計(jì)算即可得到b=a-1；
（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出直線的斜率，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出a的范圍；
（3）求導(dǎo)，分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最大值得關(guān)系即可求出．

解答 解：（1）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
∵f′（x）=$\frac{1}{x}$-ax+b，
f′（1）=1-a+b=0，
∴b=a-1
（2）F（x）=lnx+$\frac{a}{x}$，
∴F′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$
∴k=F′（x）=$\frac{{x}_{0}-a}{{x}_{0}^{2}}$≤$\frac{1}{2}$在（0，3]上恒成立，
∴a≥（-$\frac{1}{2}$x₀²+x₀）_max，x₀∈（0，3]，
當(dāng)x₀=1時，-$\frac{1}{2}$x₀²+x₀的取得最大值$\frac{1}{2}$，
∴a≥$\frac{1}{2}$
（3）當(dāng)a=2時，f（x）=lnx-x²+x，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-2x+1=$\frac{-（2x+1）（x-1）}{x}$，
令f′（x）=0，解得x=1或x=-$\frac{1}{2}$（舍去），
當(dāng)0＜x＜1時，f′（x）＞0，此時f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x＞1時，f′（x）＜0，此時f（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)c+$\frac{1}{2}$≤1，即0＜c≤$\frac{1}{2}$時，f（x）區(qū)間$[c，c+\frac{1}{2}]（c＞0）$上單調(diào)遞增，
∴f（x）_max=f（c+$\frac{1}{2}$）=ln（c+$\frac{1}{2}$）-（c+$\frac{1}{2}$）²+c+$\frac{1}{2}$=ln（c+$\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{4}$-c²，
當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}{0＜c＜1}\\{c+\frac{1}{2}＞1}\end{array}\right.$．即$\frac{1}{2}$＜c＜1時，f（x）在[c，1]上單調(diào)遞增，在[1，c+$\frac{1}{2}$]上單調(diào)遞減，
∴f（x）_max=f（1）=0，
當(dāng)c≥1時，f（x）在[c，c+$\frac{1}{2}$]上單調(diào)遞減，
∴f（x）_max=f（c）=lnc-c²+c，
綜上所述，當(dāng)0＜c≤$\frac{1}{2}$時，f（x）_max=ln（c+$\frac{1}{2}$）+$\frac{1}{4}$-c²，
當(dāng)$\frac{1}{2}$＜c＜1時，f（x）_max=0，
當(dāng)c≥1時，f（x）_max=lnc-c²+c．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及參數(shù)的取值范圍和導(dǎo)數(shù)在函數(shù)的最值的應(yīng)用，關(guān)鍵是分類討論，屬于中檔題．