分析 (1)先求導,再代值計算即可得到b=a-1;
(2)根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出直線的斜率,再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出a的范圍;
(3)求導,分類討論,根據(jù)導數(shù)和函數(shù)的最大值得關系即可求出.
解答 解:(1)f(x)的定義域為(0,+∞),
∵f′(x)=$\frac{1}{x}$-ax+b,
f′(1)=1-a+b=0,
∴b=a-1
(2)F(x)=lnx+$\frac{a}{x}$,
∴F′(x)=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$
∴k=F′(x)=$\frac{{x}_{0}-a}{{x}_{0}^{2}}$≤$\frac{1}{2}$在(0,3]上恒成立,
∴a≥(-$\frac{1}{2}$x02+x0)max,x0∈(0,3],
當x0=1時,-$\frac{1}{2}$x02+x0的取得最大值$\frac{1}{2}$,
∴a≥$\frac{1}{2}$
(3)當a=2時,f(x)=lnx-x2+x,
∴f′(x)=$\frac{1}{x}$-2x+1=$\frac{-(2x+1)(x-1)}{x}$,
令f′(x)=0,解得x=1或x=-$\frac{1}{2}$(舍去),
當0<x<1時,f′(x)>0,此時f(x)單調(diào)遞增,
當x>1時,f′(x)<0,此時f(x)單調(diào)遞減,
當c+$\frac{1}{2}$≤1,即0<c≤$\frac{1}{2}$時,f(x)區(qū)間$[c,c+\frac{1}{2}](c>0)$上單調(diào)遞增,
∴f(x)max=f(c+$\frac{1}{2}$)=ln(c+$\frac{1}{2}$)-(c+$\frac{1}{2}$)2+c+$\frac{1}{2}$=ln(c+$\frac{1}{2}$)+$\frac{1}{4}$-c2,
當$\left\{\begin{array}{l}{0<c<1}\\{c+\frac{1}{2}>1}\end{array}\right.$.即$\frac{1}{2}$<c<1時,f(x)在[c,1]上單調(diào)遞增,在[1,c+$\frac{1}{2}$]上單調(diào)遞減,
∴f(x)max=f(1)=0,
當c≥1時,f(x)在[c,c+$\frac{1}{2}$]上單調(diào)遞減,
∴f(x)max=f(c)=lnc-c2+c,
綜上所述,當0<c≤$\frac{1}{2}$時,f(x)max=ln(c+$\frac{1}{2}$)+$\frac{1}{4}$-c2,
當$\frac{1}{2}$<c<1時,f(x)max=0,
當c≥1時,f(x)max=lnc-c2+c.
點評 本題考查了導數(shù)的幾何意義以及參數(shù)的取值范圍和導數(shù)在函數(shù)的最值的應用,關鍵是分類討論,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | a=8,b=10,A=45° | B. | a=60,b=81,B=60° | C. | a=7,b=5,A=80° | D. | a=14,b=20,A=45° |
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