Question

16．已知函數(shù)f（x）=xlnx，（e=2.718…）．
（1）設(shè)g（x）=f（x）+x²-2（e+1）x+6，
①記g（x）的導(dǎo)函數(shù)為g'（x），求g'（e）；
②若方程g（x）-a=0有兩個不同實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若在[1，e]上存在一點(diǎn)x₀使$m（{f（{x_0}）-1}）＞x_0^2+1$成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）①求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算g′（e）的值即可；②求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為${x_0}+\frac{1}{x_0}-mln{x_0}+\frac{m}{x_0}＜0$，令$h（x）=x+\frac{1}{x}-mlnx+\frac{m}{x}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出m的范圍即可．

解答 解：f（x）的定義域（0，+∞），g（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
（1）①g'（x）=lnx+1+2x-2e-2，∴g'（e）=0；
②$g''（x）=2+\frac{1}{x}＞0$，∴g'（x）遞增，又g'（e）=0，
所以g（x）在（0，e）上遞減，（e，+∞）遞增，
又x趨于0的時候，g（x）趨于6；
x趨于+∞的時候，g（x）趨于+∞，
又g（e）=6-e²-e，所以a∈（6-e²-e，6）；
（2）由題可得$m（{{x_0}ln{x_0}-1}）＞x_0^2+1$，
∴$m（{ln{x_0}-\frac{1}{x_0}}）＞{x_0}+\frac{1}{x_0}$，∴${x_0}+\frac{1}{x_0}-mln{x_0}+\frac{m}{x_0}＜0$，
令$h（x）=x+\frac{1}{x}-mlnx+\frac{m}{x}$，則h（x）在[1，e]上的最小值小于0，
又$h'（x）=\frac{{（{x+1}）（{x-（{m+1}）}）}}{x^2}$，
①當(dāng)m+1≥e時，即m≥e-1，h（x）在[1，e]上遞減，
所以h（e）＜0，解得$m＞\frac{{{e^2}+1}}{e-1}$；
②當(dāng)m+1≤1即m≤0，h（x）在[1，e]遞增，
∴h（1）＜0解得m＜-2；
③當(dāng)1＜m+1＜e，即0＜m＜e-1，
此時要求h（1+m）＜0又0＜ln（1+m）＜1，
所以0＜mln（1+m）＜m，
所以h（1+m）=2+m-mln（1+m）＞2，
此時h（1+m）＜0不成立，
綜上m＜-2或$m＞\frac{{{e^2}+1}}{e-1}$．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道綜合題．