Question

12．一個(gè)正四棱錐和一個(gè)正三棱錐的所有棱長都相等，如圖1，將他們?nèi)�等的兩面重合在一起拼成一個(gè)多面體ABCDEF，如圖2

（Ⅰ）求證：AE∥BF；
（Ⅱ）過A、D、F三點(diǎn)作截面，將此多面體 上下兩部分，求上下兩部分的體積比．

Answer 1

分析 （I）由題意知，△ABE、△CBE和△BEF都是正三角形，取BE的中點(diǎn)O，可得：BE⊥AO，BE⊥FO，BE⊥CO，可得∠AOC、∠FOC分別是二面角A-BE-C和二面角F-BE-C的平面角，設(shè)AB=2a，在△AOC中與在△FOC中，分別利用余弦定理可得：cos∠AOC=-$\frac{1}{3}$，cos∠FOC=$\frac{1}{3}$，可得∠AOC+∠FOC=180°，即二面角A-BE-C與二面角F-BE-C互補(bǔ)，可得ABFE四點(diǎn)共面，進(jìn)而得到：AE∥BF．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，四邊形ABFE，四邊形CDEF都是菱形，因此過三點(diǎn)ADF的截面把多面體分成三棱錐A-DEF和四棱錐F-ABCD，連接BD、FD，利用V_F-ABCD=V_F-BCD+V_F-ABD=2V_F-BCD=2V_B-CDF=2V_A-DEF，即可得出．

解答 （I）證明：由題意知，△ABE、△CBE和△BEF都是正三角形，
取BE的中點(diǎn)O，連接AO、FO、CO、AC，則BE⊥AO，BE⊥FO，BE⊥CO，
∴∠AOC、∠FOC分別是二面角A-BE-C和二面角F-BE-C的平面角，
設(shè)AB=2a，則AO=FO=CO=$\sqrt{3}a$，AC=$2\sqrt{2}a$，
在△AOC中，$cos∠AOC=\frac{{{{（\sqrt{3}a）}^2}+{{（\sqrt{3}a）}^2}-{{（2\sqrt{2}a）}^2}}}{{2×\sqrt{3}a×\sqrt{3}a}}=-\frac{1}{3}$，
在△FOC中，$cos∠FOC=\frac{{{{（\sqrt{3}a）}^2}+{{（\sqrt{3}a）}^2}-{a^2}}}{{2×\sqrt{3}a×\sqrt{3}a}}=\frac{1}{3}$
∴∠AOC+∠FOC=180°，即二面角A-BE-C與二面角F-BE-C互補(bǔ)，
∴ABFE四點(diǎn)共面，
又AB=BF=FE=EA，故AE∥BF．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，四邊形ABFE四邊形CDEF都是菱形，
∴過三點(diǎn)ADF的截面把多面體分成三棱錐A-DEF和四棱錐F-ABCD，
連接BD、FD，
則V_F-ABCD=V_F-BCD+V_F-ABD=2V_F-BCD=2V_B-CDF=2V_A-DEF，
∴截面把多面體分成上、下兩部分的體積比為1：2．

點(diǎn)評 本題考查了二面角的定義及其作法、三棱錐與四棱錐的體積計(jì)算公式、菱形的性質(zhì)、余弦定理、線線平行，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．