Question

20．一個(gè)盒子中裝有大量形狀大小一樣但重量不盡相同的小球，從中隨機(jī)抽取50個(gè)作為樣本，稱(chēng)出它們的重量（單位：克），重量分組區(qū)間為[5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到樣本的重量頻率分布直方圖（如圖）．
（1）求a的值，并根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，試估計(jì)盒子中小球重量的眾數(shù)與平均值；
（2）從盒子中隨機(jī)抽取3個(gè)小球，其中重量在[5，15]內(nèi)的小球個(gè)數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．（以直方圖中的頻率作為概率）

Answer 1

分析 （1）求解得a=0.03，由最高矩形中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為20，可估計(jì)盒子中小球重量的眾數(shù)約為20
根據(jù)平均數(shù)值公式求解即可．
（2）X～B（3，$\frac{1}{5}$），根據(jù)二項(xiàng)分布求解P（X=0），P（X=1），P（X=2）=${C}_{3}^{2}$，P（X=3），列出分布列，求解數(shù)學(xué)期望即可．

解答 解：（1）由題意得，（0.02+0.032+a+0.018）×10=1
解得a=0.03；
又由最高矩形中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為20，
可估計(jì)盒子中小球重量的眾數(shù)約為20，
而50個(gè)樣本小球重量的平均值為：
$\overline{X}$=0.2×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40=24.6（克）
故估計(jì)盒子中小球重量的平均值約為24.6克．
（2）利用樣本估計(jì)總體，該盒子中小球的重量在[5，15]內(nèi)的0.2；
則X～B（3，$\frac{1}{5}$），
X=0，1，2，3；
P（X=0）=${C}_{3}^{0}$×（$\frac{4}{5}$）³=$\frac{64}{125}$；
P（X=1）=${C}_{3}^{1}$×（$\frac{4}{5}$）²×$\frac{1}{5}$=$\frac{48}{125}$；
P（X=2）=${C}_{3}^{2}$×（$\frac{4}{5}$）×（$\frac{1}{5}$）²=$\frac{12}{125}$；
P（X=3）=${C}_{3}^{3}$×（$\frac{1}{5}$）³=$\frac{1}{125}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{64}{125}$	$\frac{48}{125}$	$\frac{12}{125}$	$\frac{1}{125}$

即E（X）=0×$\frac{64}{125}$$+1×\frac{48}{125}$$+2×\frac{12}{125}$$+3×\frac{1}{125}$=$\frac{3}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了離散型的隨機(jī)變量及概率分布列，數(shù)學(xué)期望的求解，注意閱讀題意，得出隨機(jī)變量的數(shù)值，準(zhǔn)確求解概率，難度不大，需要很好的計(jì)算能力