Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，側面PAD與底面ABCD互相垂直，且所有棱長均為2，AC∩BD=O．
（Ⅰ）若AB⊥AD，過點O作平面α與平面PBC平行，求所得截面的面積；
（Ⅱ）若BD=2，二面角A-PC-B的大小為θ，求cosθ的值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,平面與平面平行的性質

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）過O作BN平行線，交AB于E，交DN于F，取AD中點M，連結PM，取PM中點N，連結NE，NF，連結MO，NO，則平面α即平面EFN，由此能求出所得截面的面積．
（Ⅱ）以AD中點M為原點，MA為x軸，MB為y軸，MP為z軸，建立空間直角坐標系，分別求出平面APC的法向量和平面PCB的法向量，由此能求出cosθ．

解答： 解：（Ⅰ）過O作BN平行線，交AB于E，交DN于F，取AD中點M，連結PM，
取PM中點N，連結NE，NF，連結MO，NO，
則NE∥PB，NF∥PC，
過點O作平面α與平面PBC平行，則平面α即平面EFN，
由已知得EF=2，NE=NF，∴ON⊥EF，
∵NO=

MN2+MO2

=

7

2

，
∴所得截面的面積S=

1

2

×EF×NO=

1

2

×2×

7

2

=

7

2

．
（Ⅱ）以AD中點M為原點，MA為x軸，MB為y軸，MP為z軸，
建立空間直角坐標系，
A（1，0，0），P（0，0，

3

），C（-2，

3

，0），B（0，

3

，0），

PA

=（1，0，-

3

），

PB

=（0，

3

，-

3

），

PC

=（-2，

3

，-

3

），
設平面APC的法向量

n

=（x，y，z），
則

PA • n =x- 3 z=0 PC • n =-2x+ 3 y- 3 z=0

，取z=

3

，得

n

=（3，3

3

，

3

），
設平面PCB的法向量

m

=（a，b，c），
則

PC • m =-2a+ 3 b- 3 c=0 PB • m = 3 b- 3 c=0

，取b=1，得

m

=（0，1，1），
cosθ=|cos＜

n

，

m

＞|=

| n • m |

| n |•| m |

=

4 3

39 • 2

=

2 26

13

．

點評：本題主要考查直線與平面之間的平行、垂直等位置關系，線線角、線面角、二面角的概念、求法等知識，以及空間想象能力和邏輯推理能力．