Question

11．已知圓O：x²+y²=4與x軸交于A，B兩點，點M為圓O上異于A，B的任意一點，圓O在點M處的切線與圓O在點A，B處的切線分別交于C，D，直線AD和BC交于點P，設(shè)P點的軌跡為曲線E．
（1）求曲線E的方程；
（2）曲線E與y軸正半軸交點為H，則曲線E是否存在直角頂點為H的內(nèi)接等腰直角三角形Rt△GHK，若存在，求出所有滿足條件的Rt△GHK的兩條直角邊所在直線的方程，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）求得M的切線方程，求得C和D點坐標(biāo)，聯(lián)立求得P點坐標(biāo)，即可求得曲線E的方程；
（2）設(shè)直線GH和KH方程，聯(lián)立分別求得丨GH丨，丨HK丨，由丨GH丨=丨HK丨，分類討論，即可求得k的值，求得兩條直角邊所在直線方程．

解答 解：（1）設(shè)M（x₀，y₀），則M處的切線為x₀x+y₀y=4，
則$C（-2，\frac{{4+2{x_0}}}{y_0}）$，$D（2，\frac{{4-2{x_0}}}{y_0}）$，則P：$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{{4-2{x_0}}}{{4{y_0}}}（x+2）\\ y=\frac{{4+2{x_0}}}{{-4{y_0}}}（x-2）\end{array}$，
則E：$\frac{x^2}{4}+{y^2}$=1（y≠0），
曲線E的方程$\frac{x^2}{4}+{y^2}$=1（y≠0）；
（Ⅱ）由于直線GH不與坐標(biāo)軸平行或垂直，可設(shè)l_GH：y=kx+1，則l_KH：y=-$\frac{1}{k}$x+1，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+4{y^2}-4=0\\ y=kx+1\end{array}$，整理得（1+4k²）x²+8kx=0，由于△＞0恒成立，設(shè)兩個根為x₁，x₂，
則丨GH丨=$\sqrt{1+{k^2}}|\frac{-8k}{{1+4{k^2}}}$|，同理，丨HK丨=$\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}|\frac{{\frac{8}{k}}}{{1+\frac{4}{k^2}}}|=\frac{{\sqrt{1+{k^2}}}}{|k|}|\frac{8k}{{{k^2}+4}}$，|
由丨GH丨=丨HK丨知：|k|（k²+4）=4k²+1，得：
①k＞0時，得（k-1）（k²-3k+1）=0得：k=1或k=$\frac{{3±\sqrt{5}}}{2}$
②k＜0時，得（k+1）（k²+3k+1）=0得：k=-1或k=$\frac{{-3±\sqrt{5}}}{2}$
綜上，共分三種情況
兩條直角邊所在直線方程為：y=±x+1；
兩條直角邊所在直線方程為：y=$\frac{{\sqrt{5}±3}}{2}$x+1；
兩條直角邊所在直線方程為：y=$\frac{{-\sqrt{5}±3}}{2}$x+1．

點評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，點軌跡方程的求法，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，弦長公式，考查計算能力，分類討論思想，屬于中檔題．