Question

16．“a≥3${∫}_{0}^{\frac{π}{6}}$cosθdθ”是“直線l：2ax-y+2a²=0（a＞0）與雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的右支無交點”的（　　）

• A． 充分不必要條件
• B． 必要不充分條件
• C． 充要條件
• D． 既不充分也不必要條件

Answer 1

分析 先根據(jù)定積分的計算求出a的范圍，再根據(jù)直線和雙曲線的位置關(guān)系求出a的范圍，根據(jù)充分必要的條件的定義即可判斷．

解答 解：3${∫}_{0}^{\frac{π}{6}}$cosθdθ=3sinθ|${\;}_{0}^{\frac{π}{6}}$=3sin$\frac{π}{6}$=$\frac{3}{2}$，
則不等式a≥3${∫}_{0}^{\frac{π}{6}}$cosθdθ等價為a≥$\frac{3}{2}$，
直線l：2ax-y+2a²=0（a＞0）斜截式方程為l：y=2ax+2a²（a＞0），
雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的漸近線方程為y=±$\frac{2}{a}$x，
∵2ax-y+2a²=0（a＞0）與雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的右支無交點，
∴直線l的斜率不小于雙曲線C的漸近線y=$\frac{2}{a}$x的斜率，
∴2a≥$\frac{2}{a}$，
解得a≥1，
∴a≥3${∫}_{0}^{\frac{π}{6}}$cosθdθ”是“直線l：2ax-y+2a²=0（a＞0）與雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的右支無交點”充分不必要條件，
故選：A．

點評 本題考查了充分必要條件，考查直線和雙曲線的位置關(guān)系，是一道中檔題．