Question

19．設(shè)a，b為不等于1的正數(shù)，且實(shí)數(shù)x，y，z滿足$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=$\frac{1}{z}$．求證：
（1）若a^x=b^y，則a^x=（ab）^z
（2）若a^x=（ab）^z，則b^y=（ab）^z．

Answer 1

分析 （1）設(shè)a^x=b^y=k＞0，且k≠1．可得xlga=ylgb=lgk，代入$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=$\frac{lga}{lgk}$+$\frac{lgb}{lgk}$=$\frac{1}{z}$．化簡整理即可證明．
（2）仿照（1）即可證明．

解答 證明：（1）設(shè)a^x=b^y=k＞0，且k≠1．
∴xlga=ylgb=lgk，
∴$\frac{1}{x}$=$\frac{lga}{lgk}$，$\frac{1}{y}$=$\frac{lgb}{lgk}$，
∵$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=$\frac{lga}{lgk}$+$\frac{lgb}{lgk}$=$\frac{1}{z}$．∴zlg（ab）=lgk=xlga，
∴l(xiāng)g（ab）^z=lga^x．
∴a^x=（ab）^z．
（2）設(shè)a^x=（ab）^z=k＞0，且k≠1．
∴xlga=zlg（ab）=lgk，
∴$\frac{1}{x}$=$\frac{lga}{lgk}$，$\frac{1}{z}$=$\frac{lg（ab）}{lgk}$=$\frac{lga+lgb}{lgk}$，
∵$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=$\frac{1}{z}$，
∴$\frac{lga}{lgk}$+$\frac{1}{y}$=$\frac{lg（ab）}{lgk}$，
∴$\frac{1}{y}$=$\frac{lgb}{lgk}$，
∴ylgb=lgk=zlg（ab），
即lgb^y=lg（ab）^z，
∴b^y=（ab）^z．

點(diǎn)評 本題考查了對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、換底公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．