Question

7．某市教育局在甲，乙，丙三所學校對學生進行法律宣傳教育，三所學校的學生人數(shù)分別為2400名，1600名，2000名，為了解這次教育活動的效果，用分層抽樣的方法抽取了一個容量為n的樣本進行調(diào)查，其中從丙學校中抽取了20名，若隨機變量ξ～N（$\frac{n}{15}$，σ²），P（ξ＞7）=$\frac{6}{n}$，P（1＜ξ＜7）=$\frac{4}{a+2b}$（a＞0，b＞0），則a²+4b²+2$\sqrt{ab}$的最大值是$\frac{101}{4}$．

Answer 1

分析 先根據(jù)分層抽樣求出n的值，再根據(jù)隨機變量ξ服從正態(tài)分布N（4，σ²），得到曲線關(guān)于x=4對稱，根據(jù)曲線的對稱性得到P（1＜ξ＜7）=$\frac{4}{a+2b}$，求出a+2b=5，由此得到a²+4b²+2$\sqrt{ab}$=-4（$\sqrt{ab}$-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{101}{4}$，再根據(jù)根據(jù)基本不等式可得．

解答 解：由題意可得$\frac{20}{n}$=$\frac{2000}{2400+1600+2000}$，解得n=60，
則隨機變量ξ～N（4，σ²），P（ξ＞7）=0.1，P（1＜ξ＜7）=$\frac{4}{a+2b}$，
∴曲線關(guān)于x=4對稱，
∴P（1＜ξ＜7）=1-2P（ξ＞7）=1-2×0.1=0.8=$\frac{4}{a+2b}$，
∴a+2b=5，
∴a²+4b²+2$\sqrt{ab}$=（a+2b）²-4ab+2$\sqrt{ab}$=-4（$\sqrt{ab}$-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{101}{4}$，
∵a＞0，b＞0，
∴5=a+2b≥2$\sqrt{2ab}$，
∴0＜$\sqrt{ab}$≤$\frac{5\sqrt{2}}{4}$，
當$\sqrt{ab}$=$\frac{1}{4}$時，取最大值為$\frac{101}{4}$，
故答案為：$\frac{101}{4}$

點評 本題考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義，完全平方公式及基本不等式的運用，配方法的運用，注意基本不等式應用的條件并判斷“=”是否取到．