Question

16．已知雙曲線(xiàn)$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的離心率為2，且兩條漸近線(xiàn)與拋物線(xiàn)y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若${S_{△AOB}}=\sqrt{3}$，則拋物線(xiàn)的方程為y²=4x．

Answer 1

分析 求出拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程和雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程，運(yùn)用代入法，求得AB，再由三角形的面積公式，結(jié)合離心率公式和a，b，c的關(guān)系，化簡(jiǎn)整理，解方程可得p，進(jìn)而得到雙曲線(xiàn)方程．

解答 解：拋物線(xiàn)y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線(xiàn)為x=-$\frac{p}{2}$，
雙曲線(xiàn)$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的漸近線(xiàn)方程為y=±$\frac{a}$x，
把x=-$\frac{p}{2}$代入y=±$\frac{a}$x，
解得y=±$\frac{pb}{2a}$．
∴|AB|=$\frac{pb}{a}$，
∵△AOB的面積為$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}$•$\frac{p}{2}$•$\frac{pb}{a}$=$\sqrt{3}$，
由e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=2，
解得$\frac{a}$=$\sqrt{3}$．
∴$\frac{{p}^{2}}{4}$=1，
解得p=2．
∴該拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程是y²=4x．
故答案為：y²=4x．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了雙曲線(xiàn)與拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查方程思想，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．