Question

8．已知a＜-1，函數(shù)f（x）=|x³-1|+x³+ax（x∈R）．
（I）求函數(shù)f（x）的最小值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂，試判斷f（x₁x₂）與a+1的大小關(guān)系．

Answer 1

分析 （I）a＜-1，f（x）=|x³-1|+x³+ax=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{3}+ax-1，x≥1}\\{ax+1，x＜1}\end{array}\right.$，分類討論，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而求得求得它的最小值．
（Ⅱ）證明x₁x₂＞1，即可證明f（x₁x₂）＞f（1）=a+1．

解答 解：（I）∵a＜-1，f（x）=|x³-1|+x³+ax=$\left\{\begin{array}{l}{2{x}^{3}+ax-1，x≥1}\\{ax+1，x＜1}\end{array}\right.$，
若-$\frac{a}{6}$≥1，即a≤-6時(shí)，則當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）=2x³+ax-1，f′（x）=6x²+a，令f′（x）=0，求得x=$\sqrt{-\frac{a}{6}}$．
故在（1，$\sqrt{-\frac{a}{6}}$）上，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
在（ $\sqrt{-\frac{a}{6}}$，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
當(dāng)x＜1時(shí)，函數(shù)f（x）=ax+1，函數(shù)單調(diào)遞減，故f（x）在（-∞，$\sqrt{-\frac{a}{6}}$）上單調(diào)遞減，
在（$\sqrt{-\frac{a}{6}}$，+∞）上單調(diào)遞增，
故函數(shù)f（x）的最小值為f（$\sqrt{-\frac{a}{6}}$）=$\frac{2}{3}$a•$\sqrt{-\frac{a}{6}}$-1．
若-$\frac{a}{6}$＜1，即-1＞a＞-6時(shí)，
則當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）=2x³+ax-1，f′（x）=6x²+a，在（1，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
當(dāng)x＜1時(shí)，函數(shù)f（x）=ax+1，函數(shù)單調(diào)遞減，
故f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
故f（x）的最小值為f（1）=1+a．
綜上可得，f_min（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2a}{3}•\sqrt{-\frac{a}{6}}-1，a≤-6}\\{1+a，-6＜a＜-1}\end{array}\right.$．
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂，不妨令x₁＜x₂，
則x₁=-$\frac{1}{a}$∈（$\frac{1}{6}$，1），x₂＞1，
x₂-$\frac{1}{{x}_{1}}$=x₂+a=x₂+$\frac{1}{{x}_{2}}$+$2{{x}_{2}}^{2}$，
令y=x+$\frac{1}{x}$+2x²，y′=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$+4x＞0，∴函數(shù)在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴y＞4＞0，
∴x₂-$\frac{1}{{x}_{1}}$＞0，
∴x₁x₂＞1，
故f（x₁x₂）＞f（1）=a+1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用，分類討論思想，函數(shù)的零點(diǎn)，本題轉(zhuǎn)化復(fù)雜，運(yùn)算量大，屬于難題．