Question

6．已知A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα），其中α∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）．
（1）若$|{\overrightarrow{AC}}|=|{\overrightarrow{BC}}|$，求角α的值；
（2）若$\overrightarrow{AC}\;•\;\overrightarrow{BC}=-1$，求sin（α+$\frac{π}{4}$）的值．

Answer 1

分析 （1）$\overrightarrow{AC}$=（cosα-2，sinα），$\overrightarrow{BC}$=（cosα，sinα-2），由$|{\overrightarrow{AC}}|=|{\overrightarrow{BC}}|$，可得$\sqrt{（cosα-2）^{2}+si{n}^{2}α}$=$\sqrt{co{s}^{2}α+（sinα-2）^{2}}$，化簡(jiǎn)整理即可得出．
（2）由$\overrightarrow{AC}\;•\;\overrightarrow{BC}=-1$，可得（cosα-2）cosα+sinα（sinα-2）=-1，化為：sinα+cosα=1，利用和差化積公式即可得出．

解答 解：（1）$\overrightarrow{AC}$=（cosα-2，sinα），$\overrightarrow{BC}$=（cosα，sinα-2），
∵$|{\overrightarrow{AC}}|=|{\overrightarrow{BC}}|$，∴$\sqrt{（cosα-2）^{2}+si{n}^{2}α}$=$\sqrt{co{s}^{2}α+（sinα-2）^{2}}$，
化為：cosα=sinα，即tanα=1．
∵α∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），∴$α=\frac{π}{4}$．
（2）∵$\overrightarrow{AC}\;•\;\overrightarrow{BC}=-1$，∴（cosα-2）cosα+sinα（sinα-2）=-1，
化為：sinα+cosα=1，
∴$\sqrt{2}sin（α+\frac{π}{4}）$=1．
∴sin（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、和差化積公式、三角函數(shù)求值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．