Question

20．已知函數(shù)f（x）=x²-3mx+n（m＞0）的兩個零點分別為1和2．
（1）求m、n的值；
（2）若不等式f（x）-k＞0在x∈[0，5]恒成立，求k的取值范圍．
（3）令$g（x）=\frac{f（x）}{x}$，若函數(shù)F（x）=g（2^x）-r2^x在x∈[-1，1]上有零點，求實數(shù)r的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用二次函數(shù)的零點，代入方程，化簡求解即可．
（2）求出函數(shù)f（x）的最小值，即可求解k的范圍．
（3）問題轉(zhuǎn)化為r=1+2•（$\frac{1}{{2}^{x}}$）2-3•$\frac{1}{{2}^{x}}$在x∈[-1，1]上有解，通過換元得到r=2t²-3t+1在t∈[$\frac{1}{2}$，2]上有解，求出k的范圍即可．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x²-3mx+n（m＞0）的兩個零點分別為1和2．
可得：1-3m+n=0，4-6m+n=0，解得m=1，n=2，
（2）由（1）可得f（x）=x²-3x+2，
不等式f（x）-k＞0在x∈[0，5]恒成立，
可得不等式f（x）＞k在x∈[0，5]恒成立，
f（x）=x²-3x+2在x∈[0，5]上的最小值為：f（$\frac{3}{2}$）=-$\frac{1}{4}$，
可得k＜-$\frac{1}{4}$．
（3）$g（x）=\frac{f（x）}{x}$=x+$\frac{2}{x}$-3，函數(shù)F（x）=g（2^x）-r•2^x在x∈[-1，1]上有零點，
即g（2^x）-r•2^x=0在x∈[-1，1]上有解，
即r=1+2•（$\frac{1}{{2}^{x}}$）²-3•$\frac{1}{{2}^{x}}$在x∈[-1，1]上有解，
令t=$\frac{1}{{2}^{x}}$，則r=2t²-3t+1，
∵x∈[-1，1]，∴t∈[$\frac{1}{2}$，2]，
即r=2t²-3t+1在t∈[$\frac{1}{2}$，2]上有解，
r=2k²-2t+1=2（t-$\frac{3}{4}$）²-$\frac{1}{8}$，（$\frac{1}{2}$≤t≤2），
∴-$\frac{1}{8}$≤r≤3，
∴r的范圍是[-$\frac{1}{8}$，3]．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查換元思想，是一道中檔題．