Question

12．已知直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)A（-1，0）且與⊙B：x²+y²-2x=0相切于點(diǎn)D，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸的雙曲線(xiàn)E過(guò)點(diǎn)D，一條漸進(jìn)線(xiàn)平行于l，則E的方程為（　�。�

• A． $\frac{3{y}^{2}}{4}$-$\frac{{x}^{2}}{4}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{3{y}^{2}}{2}$=1
• C． $\frac{5{y}^{2}}{3}$-x²=1
• D． $\frac{3{y}^{2}}{2}$-$\frac{{x}^{2}}{2}$=1

Answer 1

分析 設(shè)直線(xiàn)l：y=k（x+1），求得圓的圓心和半徑，運(yùn)用正弦和圓相切的條件：d=r，求得斜率k，聯(lián)立直線(xiàn)和圓方程解得交點(diǎn)，求出漸近線(xiàn)方程，設(shè)出雙曲線(xiàn)方程，代入D的坐標(biāo)，解方程即可得到所求方程．

解答 解：可設(shè)直線(xiàn)l：y=k（x+1），
⊙B：x²+y²-2x=0的圓心為（1，0），半徑為1，
由相切的條件可得，d=$\frac{|k+k-0|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，
解得k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
直線(xiàn)l的方程為y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+1），
聯(lián)立x²+y²-2x=0，解得x=$\frac{1}{2}$，y=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即D（$\frac{1}{2}$，±$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
由題意可得漸近線(xiàn)方程為y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為y²-$\frac{1}{3}$x²=m（m≠0），
代入D的坐標(biāo)，可得m=$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{12}$=$\frac{2}{3}$．
則雙曲線(xiàn)的方程為$\frac{3{y}^{2}}{2}$-$\frac{{x}^{2}}{2}$=1．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線(xiàn)和圓相切的條件：d=r，雙曲線(xiàn)的性質(zhì)：漸近線(xiàn)，考查聯(lián)立方程組求交點(diǎn)，以及待定系數(shù)法求方程的方法，屬于中檔題．