Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為棱CC₁的中點求證：
（1）B₁D₁⊥AE
（2）AC∥平面B₁DE．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的性質(zhì),直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連結(jié)AC，BD，由已知得AC⊥BD，CE⊥BD，從而BD⊥平面ACE，由此能證明B₁D₁⊥AE．
（2）取AA₁的中點F，連接FB₁、FD、FE，由已知得四邊形B₁FDE是平行四邊形，由此能證明AC∥平面B₁DE．

解答： 證明：（1）連結(jié)AC，BD，∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵CE⊥面ABCD，BD?面ABCD，
∴CE⊥BD，又AC∩CE=C，
∴BD⊥平面ACE，又AE?平面ACE，
∴BD⊥AE，
∵BD∥B₁D₁，∴B₁D₁⊥AE．
（2）取AA₁的中點F，連接FB₁、FD、FE，
∵FB₁=DE，F(xiàn)D=B₁E，
∴四邊形B₁FDE是平行四邊形，即B₁、F、D、E四點共面，
∵AC∥FE，且AC不在平面B₁FDE內(nèi)，
∴AC∥平面B₁FDE，即AC∥平面B₁DE．

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查直線與平面平行的證明，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．