Question

15．已知函數(shù)f（x）=λ₁（$\frac{a}{3}{x}^{3}$+$\frac{b-1}{2}$x²+x）+λ₂x•3^x，（a，b∈R且a＞0）．
（1）當(dāng)λ₁=1，λ₂=0時(shí)，若已知x₁，x₂是函數(shù)f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)，且滿足：x₁＜1＜x₂＜2，求證：f′（-1）＞3；
（2）當(dāng)λ₁=0，λ₂=1時(shí)，
①求實(shí)數(shù)y=f（x）-3（1+ln3）x（x＞0）的最小值；
②對(duì)于任意正實(shí)數(shù)a，b，c，當(dāng)a+b+c=3時(shí)，求證：a•3^a+b•3^b+c•3^c≥9．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，得到關(guān)于a，b的不等式組，解出即可；
（2）①求出f（x），得到關(guān)于y的表達(dá)式，求出y′，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出其最小值即可；②根據(jù)x•3^x≥3（1+ln3）x-3ln3，當(dāng)x分別取a，b，c，相加即可證明．

解答 解：（1）當(dāng)λ₁=1，λ₂=0時(shí)，f′（x）=ax²+（b-1）x+1，
已知x₁，x₂是函數(shù)f（x）兩個(gè)極值點(diǎn)，則x₁，x₂是方程f′（x）=0的兩根，
由a＞0，x₁＜1＜x₂＜2，∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）＜0}\\{f′（2）＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a+b＜0}\\{4a+2b-1＞0}\end{array}\right.$，
∴f′（-1）=a-b+2=-3（a+b）+（4a+2b-1）+3＞3…（4分）．
（2）①當(dāng)λ₁=0，λ₂=1時(shí)，f（x）=x•3^x，得y=x•3^x-3（1+ln3）x，
則：y′=3^x（xlnx+1）-3（ln3+1），
令：g（x）=3^x（xlnx+1）-3（ln3+1），g′（x）＞0，（x＞0），所以y′是（0，+∞）增函數(shù)，
且x=1是它的一個(gè)零點(diǎn)，也是唯一的一個(gè)零點(diǎn)，
所以：當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y′＜0，當(dāng)x＞1時(shí)，y′＞0，
∴當(dāng)x=1時(shí)，y═x•3^x-3（1+ln3）x有最小值為-3ln3…（8分）
②由①知：x•3^x≥3（1+ln3）x-3ln3，當(dāng)x分別取a，b，c時(shí)有
a•3^a≥3（1+ln3）a-3ln3，
b•3^b≥3（1+ln3）b-3ln3
c•3^c≥3（1+ln3）c-3ln3，
又a+b+c=3，所以三式相加即得a•3^a+b•3^b+c•3^c≥9．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及不等式的證明，是一道綜合題．