Question

6．設(shè)函數(shù)f（x）=x²+aln（x+1），其中a≠0．
（Ⅰ）當(dāng)a=-1時(shí)，求曲線y=f（x）在原點(diǎn)處的切線方程；
（Ⅱ）試討論函數(shù)f（x）極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）由a=1，得出f（x）的解析式，求切線方程，即先求f′（x）在x=0出的值為切線的斜率．由點(diǎn)斜式求出切線方程即可．
（2）求出導(dǎo)函數(shù)，并討論其等價(jià)函數(shù)h（x），從△＞0，△=0，△＜0三種情況討論．

解答 解：（1）當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=x²-ln（x+1）
f′（x）=2x-$\frac{1}{x+1}$=$\frac{{2x}^{2}+2x-1}{x+1}$=$\frac{{2（x+\frac{1}{2}）}^{2}-\frac{3}{2}}{x+1}$，
f′（0）=-1，即切線方程的斜率是-1，
∴切線方程為y=-x；
（2）∵函數(shù)f（x）=x²+aln（x+1），其中a≠0
∴f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）
f′（x）=2x+$\frac{a}{x+1}$=$\frac{{2x}^{2}+2x+a}{x+1}$，
令h（x）=2x²+2x+a=2（x+$\frac{1}{2}$）²+a-$\frac{1}{2}$，
①a＜$\frac{1}{2}$，且a≠0時(shí)，△＞0，h（x）=0有兩個(gè)根，x₁=$\frac{-1-\sqrt{1-2a}}{2}$，x₂=$\frac{-1+\sqrt{1-2a}}{2}$，
當(dāng)0＜a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，x₁∈（-1，-$\frac{1}{2}$），x₂∈（-$\frac{1}{2}$，+∞），此時(shí)f（x）有2個(gè)極值點(diǎn)．
當(dāng)a＜0時(shí)，x₁∈（-∞，-1），x₂∈（-$\frac{1}{2}$，+∞），此時(shí)f（x）有1個(gè)極值點(diǎn)．
②a=$\frac{1}{2}$時(shí)，△=0，
∴h（x）≥0，
則f（x）≥0，
∴f（x）在（-1，+∞）上為增函數(shù)
∴f（x）無極值點(diǎn)
③a＞$\frac{1}{2}$時(shí)，△＜0，
∴h（x）＞0，則f（x）＞0，
∴f（x）在[-1，+∞）上為增函數(shù)，
∴f（x）無極值點(diǎn)．
綜上，當(dāng)a≥$\frac{1}{2}$時(shí)，無極值點(diǎn)；當(dāng)0＜a＜$\frac{1}{2}$時(shí)，有2個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)a＜0時(shí)，有1個(gè)極值點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系．在導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用中可以通過構(gòu)造等價(jià)函數(shù)來研究，將導(dǎo)函數(shù)與不等式建立關(guān)系．