Question

4．已知F是雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點，O是雙曲線C的中心，直線y=$\sqrt{m}$x是雙曲線C的一條漸近線，以線段OF為邊作正三角形AOF，若點A在雙曲線C上，則m的值為（　�。�

• A． 3+2$\sqrt{3}$
• B． 3-2$\sqrt{3}$
• C． 3+$\sqrt{3}$
• D． 3-$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)正三角形的性質(zhì)，結(jié)合雙曲線的性質(zhì)求出，m=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，A（$\frac{1}{2}$c，$\frac{\sqrt{3}}{2}$c），將A點的坐標代入雙曲線方程可得到關(guān)于m的方程，進行求解即可．

解答 解：∵F（c，0）是雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點，直線y=$\sqrt{m}x$是雙曲線C的一條漸近線，
又雙曲線C的一條漸近線為y=$\frac{a}$x，
∴m=$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，
又點A在雙曲線C上，△AOF為正三角形，
∴A（$\frac{1}{2}$c，$\frac{\sqrt{3}}{2}$c），
∴$\frac{{（\frac{1}{2}c）}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{（\frac{\sqrt{3}}{2}c）}^{2}}{^{2}}$=1，又c²=a²+b²，
∴$\frac{{a}^{2}{+b}^{2}}{{4a}^{2}}$-$\frac{{3（a}^{2}{+b}^{2}）}{{4b}^{2}}$=1，
即$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$m-$\frac{3}{4}$-$\frac{3}{4m}$=1，
∴m²-6m-3=0，又m＞0，
∴m=3+2$\sqrt{3}$．
故選：A．

點評 本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，考查其漸近線方程，根據(jù)正三角形的性質(zhì)結(jié)合漸近線的性質(zhì)，求出m以及A的坐標是解決本題的關(guān)鍵．，考查學生的運算能力．