【題目】(本小題滿分16分)已知為實數(shù),函數(shù),函數(shù).
(1)當(dāng)時,令,求函數(shù)的極值;
(2)當(dāng)時,令,是否存在實數(shù),使得對于函數(shù)定義域中的任意實數(shù),均存在實數(shù),有成立,若存在,求出實數(shù)的取值集合;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)的極小值為,無極大值.(2)
【解析】
試題分析:(1)當(dāng)時,,定義域為,由得.列表分析得的極小值為,無極大值.(2)恒成立問題及存在問題,一般利用最值進行轉(zhuǎn)化:在上恒成立.由于不易求,因此再進行轉(zhuǎn)化:當(dāng)時, 可化為,令,問題轉(zhuǎn)化為:對任意恒成立;同理當(dāng)時,可化為,令,問題轉(zhuǎn)化為:對任意的恒成立;以下根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點情況進行討論即可.
試題解析:(1),
,令,得. 1分
列表:
x | |||
0 | + | ||
↘ | 極小值 | ↗ |
所以的極小值為,無極大值. 4分
(2)當(dāng)時,假設(shè)存在實數(shù)滿足條件,則在上恒成立. 5分
1)當(dāng)時, 可化為,
令,問題轉(zhuǎn)化為:對任意恒成立;(*)
則,,.
令,則.
①時,因為,
故,所以函數(shù)在時單調(diào)遞減,,
即,從而函數(shù)在時單調(diào)遞增,故,所以(*)
成立,滿足題意; 7分
②當(dāng)時,,
因為,所以,記,則當(dāng)時,,
故,所以函數(shù)在時單調(diào)遞增,,
即,從而函數(shù)在時單調(diào)遞減,所以,此時(*)不成立;
所以當(dāng),恒成立時,; 9分
2)當(dāng)時,可化為,
令,問題轉(zhuǎn)化為:對任意的恒成立;(**)
則,,.
令,則.
①時,,
故,所以函數(shù)在時單調(diào)遞增,,
即,從而函數(shù)在時單調(diào)遞增,所以,此時(**)成立;11分
②當(dāng)時,
ⅰ)若,必有,故函數(shù)在上單調(diào)遞減,所以,即,從而函數(shù)在時單調(diào)遞減,所以,此時(**)不成立; 13分
ⅱ)若,則,所以當(dāng)時,
,
故函數(shù)在上單調(diào)遞減,,即,所以函數(shù)在時單調(diào)遞減,所以,此時(**)不成立;
所以當(dāng),恒成立時,; 15分
綜上所述,當(dāng),恒成立時, ,從而實數(shù)的取值集合為. 16分
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本題滿分16分)
設(shè)函數(shù).
(1)若=1時,函數(shù)取最小值,求實數(shù)的值;
(2)若函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù),求實數(shù)的取值范圍;
(3)若,證明對任意正整數(shù),不等式都成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校高二(1)班的一次數(shù)學(xué)測試成績的莖葉圖和頻率分布直方圖都受到不同程度的破壞,但可見部分如圖,且將全班25人的成績記為AI(I=1,2,…,25)由右邊的程序運行后,輸出n=10.據(jù)此解答如下問題:
(Ⅰ)求莖葉圖中破損處分數(shù)在[50,60),[70,80),[80,90)各區(qū)間段的頻數(shù);
(Ⅱ)利用頻率分布直方圖估計該班的數(shù)學(xué)測試成績的眾數(shù),中位數(shù)分別是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,a=btanA,且B為鈍角.
(1)求B﹣A的值;
(2)求sinA+sinC的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對于函數(shù)f(x),若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立,則稱x0為f(x)的不動點.已知f(x)=ax2+(b+1)x+b﹣1(a≠0).
(1)當(dāng)a=1,b=﹣2時,求函數(shù)f(x)的不動點;
(2)若對任意實數(shù)b,函數(shù)f(x)恒有兩個相異的不動點,求a的范圍;
(3)在(2)的條件下,若y=f(x)圖象上A、B兩點的橫坐標是函數(shù)f(x)的不動點,且A、B兩點關(guān)于直線y=kx+ 對稱,求b的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下面有五個命題:
①函數(shù)y=sin4x﹣cos4x的最小正周期是π;
② =tanα;
③函數(shù)y=sinx+cosx的圖象均關(guān)于點( ,0)成中心對稱;
④把函數(shù)y=3sin(2x+ )的圖象向右平移 個單位得到y(tǒng)=3sin2x的圖象.
其中正確命題的編號是 . (寫出所有正確命題的編號)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分16分)已知為實數(shù),函數(shù),函數(shù).
(1)當(dāng)時,令,求函數(shù)的極值;
(2)當(dāng)時,令,是否存在實數(shù),使得對于函數(shù)定義域中的任意實數(shù),均存在實數(shù),有成立,若存在,求出實數(shù)的取值集合;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若a、b、c是常數(shù),則“a>0且b2﹣4ac<0”是“對任意x∈R,有ax2+bx+c>0”的( )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】先把正弦函數(shù)y=sinx圖象上所有的點向左平移 個長度單位,再把所得函數(shù)圖象上所有的點的縱坐標縮短到原來的 倍(橫坐標不變),再將所得函數(shù)圖象上所有的點的橫坐標縮短到原來的 倍(縱坐標不變),則所得函數(shù)圖象的解析式是( )
A.y=2sin( x+ )
B.y= sin(2x﹣ )
C.y=2sin( x﹣ )
D.y= sin(2x+ )
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