【題目】(本題滿分16分)
設(shè)函數(shù).
(1)若=1時(shí),函數(shù)取最小值,求實(shí)數(shù)的值;
(2)若函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)若,證明對(duì)任意正整數(shù),不等式都成立.
【答案】(1)- 4.(2)(3)詳見解析
【解析】試題分析:(1)利用導(dǎo)數(shù)求開區(qū)間函數(shù)最值,先從導(dǎo)函數(shù)出發(fā),探求極值點(diǎn)即為最值點(diǎn),最后需列表驗(yàn)證:由得(2)函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù),即導(dǎo)函數(shù)不變號(hào), ≥0或≤0在( - 1,+ ∞)上恒成立. 即2x2+2x+b≥0在( - 1,+ ∞)上恒成立或2x2+2x+b≤0在( - 1,+ ∞)上恒成立,利用變量分離及函數(shù)最值可得:實(shí)數(shù)b的取值范圍是.(3)證明和項(xiàng)不等式,關(guān)鍵分析出和項(xiàng)與通項(xiàng)關(guān)系: 即證當(dāng)時(shí),有f(x) <x3.這可利用導(dǎo)數(shù)給予證明
試題解析:(1)由x + 1>0得x> – 1∴f(x)的定義域?yàn)?/span>( - 1,+ ∞),
對(duì)x∈ ( - 1,+ ∞),都有f(x)≥f(1),∴f(1)是函數(shù)f(x)的最小值,故有f/(1) = 0,
解得b=" -" 4. 經(jīng)檢驗(yàn),列表(略),合題意;
(2)∵又函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù),
∴≥0或≤0在( - 1,+ ∞)上恒成立.
若≥0,∵x + 1>0,∴2x2+2x+b≥0在( - 1,+ ∞)上恒成立,
即b≥-2x2-2x =恒成立,由此得b≥;
若≤0, ∵x + 1>0, ∴2x2+2x+b≤0,即b≤- (2x2+2x)恒成立,
因-(2x2+2x) 在( - 1,+ ∞)上沒有最小值,∴不存在實(shí)數(shù)b使f(x) ≤0恒成立.
綜上所述,實(shí)數(shù)b的取值范圍是.
(3)當(dāng)b=" -" 1時(shí),函數(shù)f(x) = x2- ln(x+1),令函數(shù)h(x)="f(x)" – x3= x2– ln(x+1) – x3,
則h/(x) =" -" 3x2+2x -,
∴當(dāng)時(shí),h/(x)<0所以函數(shù)h(x)在上是單調(diào)遞減.
又h(0)=0,∴當(dāng)時(shí),恒有h(x) <h(0)=0,即x2– ln(x+1) <x3恒成立.
故當(dāng)時(shí),有f(x) <x3..
∵取則有
∴,故結(jié)論成立。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】【2017重慶二診】已知函數(shù),設(shè)關(guān)于的方程有個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,則的所有可能的值為( )
A. 3 B. 1或3 C. 4或6 D. 3或4或6
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知bcos2 +acos2 = c.
(Ⅰ)求證:a,c,b成等差數(shù)列;
(Ⅱ)若C= ,△ABC的面積為2 ,求c.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給出下列命題:
①已知集合A={1,a},B={1,2,3},則“a=3”是“AB”的充分不必要條件;
②“x<0”是“l(fā)n(x+1)<0”的必要不充分條件;
③“函數(shù)f(x)=cos2ax﹣sin2ax的最小正周期為π”是“a=1”的充要條件;
④“平面向量 與 的夾角是鈍角”的充要條件的“ <0”.
其中正確命題的序號(hào)是(把所有正確命題的序號(hào)都寫上)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】記等比數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn , 已知a1+a3=30,3S1 , 2S2 , S3成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列{bn}滿足b1=3,bn+1﹣3bn=3an , 求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Bn;
(3)刪除數(shù)列{an}中的第3項(xiàng),第6項(xiàng),第9項(xiàng),…,第3n項(xiàng),余下的項(xiàng)按原來的順序組成一個(gè)新數(shù)列,記為{cn},{cn}的前n項(xiàng)和為Tn , 若對(duì)任意n∈N* , 都有 >a,試求實(shí)數(shù)a的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分14分)
如圖,2015年春節(jié),攝影愛好者在某公園處,發(fā)現(xiàn)正前方處有一立柱,測得立柱頂端的仰角和立柱底部的俯角均為,已知的身高約為米(將眼睛距地面的距離按米處理)
(1)求攝影者到立柱的水平距離和立柱的高度;
(2)立柱的頂端有一長2米的彩桿繞中點(diǎn)在與立柱所在的平面內(nèi)旋轉(zhuǎn).攝影者有一視角范圍為的鏡頭,在彩桿轉(zhuǎn)動(dòng)的任意時(shí)刻,攝影者是否都可以將彩桿全部攝入畫面?說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是F1(﹣ ,0)、F2( ,0),并且經(jīng)過點(diǎn)P( ,﹣ ).
(1)求橢圓C的方程;
(2)若直線l與圓O:x2+y2=1相切,并與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A、B.當(dāng) =λ,且滿足 ≤λ≤ 時(shí),求△AOB面積S的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為研究冬季晝夜溫差大小對(duì)某反季節(jié)大豆新品種發(fā)芽率的影響,某農(nóng)科所記錄了5組晝夜溫差與100顆種子發(fā)芽數(shù),得到如表資料:
組號(hào) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
溫差x(°C) | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 |
發(fā)芽數(shù)y(顆) | 23 | 25 | 30 | 26 | 16 |
該所確定的研究方案是:先從這五組數(shù)據(jù)中選取2組,用剩下的3組數(shù)據(jù)求出線性回歸方程,再對(duì)被選取的2組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).
(1)若選取的是第1組與第5組的兩組數(shù)據(jù),請(qǐng)根據(jù)第2組至第4組的數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的線性回歸方程 ;
(2)若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過2顆,則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的,試問(1)中所得的線性回歸方程是否可靠?
(參考公式: = = , )
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題滿分16分)已知為實(shí)數(shù),函數(shù),函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),令,求函數(shù)的極值;
(2)當(dāng)時(shí),令,是否存在實(shí)數(shù),使得對(duì)于函數(shù)定義域中的任意實(shí)數(shù),均存在實(shí)數(shù),有成立,若存在,求出實(shí)數(shù)的取值集合;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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