Question

已知函數(shù)f（x）=-x²+ax定義在區(qū)間[0，1]上的函數(shù)列，f_n（x）（n=1，2，3，…）滿足f₁（x）=4f（x），f_n+1=f₁（f_n（x））（n=1，2，3，…），且f_n（x）在[0，1]上的最大值為1，最小值為0．
（1）設(shè)f_n（x）在[0，1]上取得最大值時x的值的個數(shù)為a_n，求實數(shù)a的值；
（2）數(shù)列{a_n}的前n項的和為S_n，求S_n的解析式．

Answer 1

考點：數(shù)列與函數(shù)的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由題意根據(jù)歸納推理得出a₁=1，a₂=2，a₃=4，…a_n=2^n-1，
（2）利用等比數(shù)列求和公式解得即可．

解答： 解：（1）由由題意得f₁（x）=4f（x）=-4x²+4ax，
∴f1′(x)=-8x+4a=0時，x=

a

2

，
∴f₁（0）=0，f₁（1）=-4+4a，f1(

a

2

)=a²，
∵f₁（x）在[0，1]上的最大值為1，最小值為0．
∴最大值為：a²=1，解得a=1或a=-1（舍去）．
∴f₁（x）=-4x²+4x，當x=

1

2

時取得最大值1，則a₁=1，
又f_n+1=f₁（f_n（x）），
∴f₂=f₁（f₁（x））=-4（f₁（x））²+4f₁（x）=1，
∴f₁（x）=-4x²+4x，方程有兩個解x₁，x₂，（如圖）A，B橫坐標，則a₂=2，

由f₃=f₁（f₂（x））=f₁（f₁（f₁（x）））=1，
∴f₁（f₁（x））=

1

2

，∴f₁（x）=x₁，或f₁（x）=x₂，
∴-4x²+4x=x₁或-4x²+4x=x₂可解得4個解，如圖DEFG橫坐標，則a₃=4，
同理f_n（x）在[0，1]上取得最大值時x的值的個數(shù)為a_n=2^n-1．
（2）s_n=1+2+4+…+2^n-1=

1-2n

1-2

=2ⁿ-1．

點評：本題主要考查利用遞推公式求數(shù)列的通項公式及等比數(shù)列求和知識，考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力及運算求解能力，屬于中檔題．