Question

已知函數(shù)f（x）=3^x-

a

3x

（a∈R）
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）為增函數(shù)，直接寫出a的取值范圍；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，求a的值；
（Ⅲ）若存在x∈[0，1]，使得f（x）≥1成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)奇偶性的判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及增函數(shù)的定義即可求出a的取值范圍；
（Ⅱ）根據(jù)奇函數(shù)的定義f（-x）=-f（x），即可求出a的值；
（Ⅲ）存在x∈[0，1]，使得f（x）≥1，即該不等式有解，帶入f（x）可求出a≤（3^x）²-3^x，所以求（3^x）²-3^x在[0，1]上的最大值，a小于等于該最大值即可．

解答： 解：（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)f（x）解析式及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，a≥0；
∴a的取值范圍為[0，+∞）；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）的定義域為R；
若f（x）為奇函數(shù)，則：
f（-x）=3-x-

a

3-x

=-a•3x+

1

3x

=-3x+

a

3x

；
∴a=1；
（Ⅲ）由f（x）≥1得，3x-

a

3x

≥1；
∴存在x∈[0，1]，使得a≤(3x)2-3x=(3x-

1

2

)2-

1

4

；
x∈[0，1]，所以3^x∈[1，3]；
∴函數(shù)（3^x）²-3^x的最大值為6；
∴a≤6；
∴a的取值范圍為（-∞，6]．

點評：考查指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，增函數(shù)的定義，以及奇函數(shù)的定義，配方求二次式子最大值的方法．