Question

（2011•大連二模）斜率為k（k＞0）的直線l過定點P（0，m）（m＞0），與拋物線x²=2py（p＞0）交于A，B兩點，且A，B兩點到y(tǒng)軸距離之差為4k．
（Ⅰ）求拋物線方程；
（Ⅱ）若此拋物線焦點為F，且有|AF|+|BF|=4k²+4，試求m的值；
（Ⅲ）過拋物線準線上任意一點Q作拋物線的兩條切線，切點分別為M，N，試探究直線MN是否過定點，若過定點，求出定點的坐標．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設AB的方程為y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

x2=2py y=kx+m

，得x²-2pkx-2pm=0，利用韋達定理能求出p，從而求出拋物線方程．
（Ⅱ）因為|AF|+|BF|=y₁+y₂+p，由此能求出m的值．
（Ⅲ）設M(x1，

x 2 1

4

)，N(x2，

x 2 2

4

)，Q（x₀，-1），由kMQ=

x1

2

，知x₁²-2x₁x+4y=0．由此能推導出直線MN過點（0，1）．

解答：解：（Ⅰ）設AB的方程為y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則由

x2=2py y=kx+m

，可得x²-2pkx-2pm=0．（2分）
∴x₁+x₂=2pk，
又依題意有|x₁+x₂|=4k=2pk，
∴p=2．
∴拋物線方程為x²=4y．（4分）
（Ⅱ）∵|AF|+|BF|=y₁+y₂+p
=k（x₁+x₂）+2m+2
=4k²+2m+2
=4k²+4，
∴m=1．（6分）
（Ⅲ）設M(x1，

x 2 1

4

)，N(x2，

x 2 2

4

)，Q（x₀，-1），
∵kMQ=

x1

2

，
∴MQ的方程為y-

x 2 1

4

=

x1

2

(x-x1)，
∴x₁²-2x₁x+4y=0．（8分）
∵MQ過Q，∴x₁²-2x₁x₀-4=0，
同理x₂²-2x₂x₀-4=0，
∴x₁，x₂為方程x²-2x₀x-4=0的兩個根，
∴x₁x₂=-4．（10分）
又kMN=

x1+x2

4

，
∴MN的方程為y-

x 2 1

4

=

x1+x2

4

(x-x1)
∴y=

x1+x2

4

x+1，
所以直線MN過點（0，1）．（12分）

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，綜合性強，是高考的重點．本題具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關(guān)知識，解題時要注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．