Question

14．已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=2，a_n+1=a_n²-na_n+1，令b_n=$\frac{1}{a{\;}_{n}•a{\;}_{n+1}}$，則數(shù)列{b_n}的前10項和為$\frac{5}{12}$．

Answer 1

分析 a₁=2，a_n+1=a_n²-na_n+1，變形為a_n+1-（n+2）=[a_n-（n+1）]（a_n+1），由于a_n+1≠0，可得a_n=n+1．再利用“裂項求和”即可得出．

解答 解：∵a₁=2，a_n+1=a_n²-na_n+1，
∴a_n+1-（n+2）=[a_n-（n+1）]（a_n+1），
由于a_n+1≠0，可得a_n=n+1．
∴b_n=$\frac{1}{a{\;}_{n}•a{\;}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$，
∴數(shù)列{b_n}的前n項和S_n=$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）$+…+$（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$
=$\frac{1}{2}-\frac{1}{n+2}$=$\frac{n}{2n+4}$．
∴S₁₀=$\frac{10}{24}=\frac{5}{12}$．
故答案為：$\frac{5}{12}$．

點評 本題考查了“裂項求和”方法、遞推式的應(yīng)用，考查了變形能力、推理能力與計算能力，屬于中檔題．