Question

5．如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，棱PD⊥底面ABCD，PD=2，∠PCD=45°，E是PC的中點．
（1）證明：PA∥平面BDE；
（2）證明：平面BDE⊥平面PBC；
（3）求三棱錐C-BED的體積．

Answer 1

分析 （1）如圖所示，連接AC交BD于點O，連接OE．利用正方形的性質、三角形中位線定理可得OE∥PA．再利用線面平行的判定定理可得：PA∥平面BDE；
（2）利用線面垂直的性質可得：PD⊥BC，又BC⊥CD，可得BC⊥平面PDC，因此BC⊥DE．利用等腰三角形的性質可得：DE⊥PC，可得DE⊥平面PBC，即可證明．
（3）由E是PC的中點，可得點E到平面BCD的距離h=$\frac{1}{2}$PD．利用V_C-BDE=V_E-BCD=$\frac{1}{3}h{S}_{△BCD}$即可得出．

解答 （1）證明：如圖所示，連接AC交BD于點O，連接OE．
∵底面ABCD是正方形，∴OA=OC．
又E是PC的中點，
∴OE∥PA．
又PA平面BDE，OE?平面BDE．
∴PA∥平面BDE；
（2）證明：∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC，
又BC⊥CD，PD∩CD=D，
∴BC⊥平面PDC，
∴BC⊥DE．
∵PD=DC，PE=EC，
∴DE⊥PC，
又PC∩BC=C，
∴DE⊥平面PBC，
DE?平面BDE，
∴平面BDE⊥平面PBC；
（3）解：∵E是PC的中點，
∴點E到平面BCD的距離h=$\frac{1}{2}$PD=1．
∴V_C-BDE=V_E-BCD=$\frac{1}{3}h{S}_{△BCD}$=$\frac{1}{3}×1×\frac{1}{2}×{2}^{2}$=$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查了正方形的性質、線面面面平行垂直的判定與性質定理、三角形中位線定理、三棱錐的體積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．