Question

2．如圖，已知四邊形ABCD，EADM，MDCF都是邊長為2的正方形，點(diǎn)P，Q分別是ED，AC的中點(diǎn)．
（1）求幾何體EMF-ABCD的表面積；
（2）證明：PQ∥平面BEF；
（3）求平面BEF與平面ABCD夾角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)EMF-ABCD的表面積為S，利用S=S_{正方形ABCD}+S_{正方形MDCF}+S_{正方形EADM}+S_△EAB+S_△FBC+S_△MEF+S_正△BEF，即可得出；
（2）P是AM的中點(diǎn)，Q是AC的中點(diǎn)，由三角形中位線定理可得PQ∥BE，再利用線面平行的判定定理即可得出；
（3）利用$cosθ=\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△BEF}}$即可得出．

解答 （1）解：設(shè)EMF-ABCD的表面積為S，則
S=S_{正方形ABCD}+S_{正方形MDCF}+S_{正方形EADM}+S_△EAB+S_△FBC+S_△MEF+S_正△BEF
=2²×3+3×$\frac{1}{2}×{2}^{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}×（2\sqrt{2}）^{2}$
=18+2$\sqrt{3}$．
（2）證明：∵P是AM的中點(diǎn)，Q是AC的中點(diǎn)，
由三角形中位線定理可得：PQ∥BE，
PQ?平面BEF，BE?平面BEF，
∴PQ∥平面BEF．
（3）解：設(shè)平面BEF與平面ABCD夾角為θ．
由于△BEF在平面ABCD的射影是△ABC，
∴$cosθ=\frac{{S}_{△ABC}}{{S}_{△BEF}}$=$\frac{\frac{1}{2}×{2}^{2}}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了三角形中位線定理、線面平行的判定定理、正方形與正三角形的面積計算公式、二面角的計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．