若函數(shù)y=f（x）在x=x處取得極大值或極小值，則稱x為函數(shù)y=f（x）的極值點(diǎn)．已知a，b是實(shí)數(shù)，1和-1是函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx的兩個(gè)極值點(diǎn)．
（1）求a和b的值；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）的導(dǎo)函數(shù)g'（x）=f（x）+2，求g（x）的極值點(diǎn)．
【答案】分析：（1）先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后根據(jù)1和-1是函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx的兩個(gè)極值點(diǎn)，則f'（1）=0，f'（-1）=0，建立方程組，解之即可求出a與b的值；
（2）先求出g'（x）的解析式，求出g'（x）=0的根，判定函數(shù)的單調(diào)性，從而函數(shù)的g（x）的極值點(diǎn)．
解答：解：（1）由f（x）=x3+ax2+bx，得f'（x）=3x2+2ax+b．
∵1和-1是函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx的兩個(gè)極值點(diǎn)，
∴f'（1）=3+2a+b=0，f'（-1）=3-2a+b=0，解得a=0，b=-3．
（2）∵由（1）得，f（x）=x3-3x，
∴g'（x）=f（x）+2=x3-3x+2=（x-1）2（x+2），解得x1=x2=1，x3=-2．
∵當(dāng)x＜-2時(shí)，g'（x）＜0；當(dāng)-2＜x＜1時(shí)，g'（x）＞0，
∴x=-2是g（x）的極值點(diǎn)．
∵當(dāng)-2＜x＜1或x＞1時(shí)，g'（x）＞0，∴x=1不是g（x）的極值點(diǎn)．
∴g（x）的極值點(diǎn)是-2．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，同時(shí)考查了計(jì)算能力和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知變量t，y滿足關(guān)系式loga
t
a3
=logt
y
a3
，a＞0且a≠1，t＞0且t≠1，變量t，x滿足關(guān)系式t=ax，變量y，x滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=f（x）．
（1）求函數(shù)y=f（x）表達(dá)式；
（2）若函數(shù)y=f（x）在[2a，3a]上具有單調(diào)性，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
38
x2-2x+2+ln x．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）在[em，+∞）（m∈Z）上有零點(diǎn)，求m的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=-x2+2ax-3a．
（Ⅰ）若函數(shù)y=f（x）在（-∞，1）上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)函數(shù)f（x）在[1，2]上的最大值為4時(shí)，求實(shí)數(shù)a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（2x）=x2-2ax+3
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式
（2）若函數(shù)y=f（x）在[
12
，8]上的最小值為-1，求a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若函數(shù)y=f（x）在（0，+∞）上的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），且不等式xf′（x）＞f（x）恒成立，又常數(shù)a，b滿足a＞b＞0，則下列不等式一定成立的是
 
．
①bf（a）＞af（b）；②af（a）＞bf（b）；③bf（a）＜af（b）；④af（a）＜bf（b）．

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