Question

9．已知定義域為R的函數(shù)f（x）=-$\frac{1}{3}$+$\frac{{3}^{x}+1}$是奇函數(shù)．
（1）求b的值并判斷f（x）的單調(diào)性（不需證明，直接判斷即可）
（2）若對于任意的m∈R，不等式f（2m-1）+f（m²-2-t）＜0恒成立，求t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，f（0）=0代入即可求得b的值，求得f（x）的解析式，根據(jù)解析式求得函數(shù)的單調(diào)性；
（2）由函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性將原不等式轉(zhuǎn)化成m²-2-t＞1-2m 在m∈R上恒成立，分離變量，由二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得t的取值范圍．

解答 解：（1）因為f（x）為奇函數(shù)，
所以f（0）=0 即-$\frac{1}{3}$+$\frac{{3}^{0}+1}$=0，
∴b=$\frac{2}{3}$，…（3）
f（x）=$\frac{-{3}^{x}+1}{3（{3}^{x}+1）}$，
根據(jù)題意f（x）為減函數(shù)．…（6）
（2）由題意得，f（m²-2-t）＜-f（2m-1），
由于f（x）為奇函數(shù)  f（m²-2-t）＜f（1-2m），
又f（x）為R上的單調(diào)遞減函數(shù)，
所以m²-2-t＞1-2m 在m∈R上恒成立…（9）
整理得：t＜m²+2m-3=（m+1）²-4，
所以，t＜-4，
即 t的取值范圍（-∞，-4）．…（12）

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的應(yīng)用，考查分離變量法其未知數(shù)的取值范圍，考查二次函數(shù)圖象及性質(zhì)，考查計算能力，屬于中檔題．