Question

9．已知S_n為正項數(shù)列{a_n}的前n項和，且滿足S_n=$\frac{1}{2}$a${\;}_{n}^{2}$+$\frac{1}{2}$a_n（n∈N^*）
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若b_n=n•（$\frac{1}{2}$）${\;}^{{a}_{n}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出數(shù)列的首項為1，將n換為n-1，兩式相減可得a_n-a_n-1=1，由等差數(shù)列的通項公式，計算即可得到所求；
（Ⅱ）求得b_n=n•（$\frac{1}{2}$）${\;}^{{a}_{n}}$=n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，運用數(shù)列的求和方法：錯位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，化簡整理，即可得到所求和．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時，a₁=S₁=$\frac{1}{2}$a₁²+$\frac{1}{2}$a₁，
解得a₁=1（負的舍去），
S_n=$\frac{1}{2}$a${\;}_{n}^{2}$+$\frac{1}{2}$a_n（n∈N^*），
將n換為n-1，可得S_n-1=$\frac{1}{2}$a_n-1²+$\frac{1}{2}$a_n-1，
相減可得a_n=$\frac{1}{2}$a_n²-$\frac{1}{2}$a_n-1²+$\frac{1}{2}$a_n-$\frac{1}{2}$a_n-1，
化為a_n+a_n-1=（a_n-a_n-1）（a_n+a_n-1），
可得a_n-a_n-1=1，
即有a_n=1+n-1=n；
（Ⅱ）b_n=n•（$\frac{1}{2}$）${\;}^{{a}_{n}}$=n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
前n項和T_n=1•$\frac{1}{2}$+2•（$\frac{1}{2}$）²+3•（$\frac{1}{2}$）³+…+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
$\frac{1}{2}$T_n=1•（$\frac{1}{2}$）²+2•（$\frac{1}{2}$）³+3•（$\frac{1}{2}$）⁴+…+n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
相減可得$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+（$\frac{1}{2}$）⁴+…+（$\frac{1}{2}$）ⁿ-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹
=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-n•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹，
化簡可得T_n=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式的求法，注意運用下標(biāo)變換相減法，考查等差數(shù)列的通項公式，以及等比數(shù)列的求和公式，數(shù)列的求和方法：錯位相減法，屬于中檔題．