Question

20．已$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$為平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量$\overrightarrow{c}$滿足$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow{a}$=λ（$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow$）（λ∈R），則|$\overrightarrow{c}$|的最小值為（　　）

• A． -$\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． -$\frac{1}{2}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 $\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$為平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，設(shè)$\overrightarrow{a}$（1，0），$\overrightarrow$（0，1），$\overrightarrow{c}$=（x，y），得到|$\overrightarrow{c}$|²=$\frac{1}{（λ-1）^{2}}$+$\frac{{λ}^{2}}{（λ-1）^{2}}$=$\frac{1+{λ}^{2}}{1+{λ}^{2}-2λ}$，再構(gòu)造函數(shù)y=$\frac{1+{λ}^{2}}{1+{λ}^{2}-2λ}$利用判別式法求出此函數(shù)的最小值，再開方后就是所求的最小值．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$為平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量，
設(shè)$\overrightarrow{a}$（1，0），$\overrightarrow$（0，1），$\overrightarrow{c}$=（x，y），
∵$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow{a}$=λ（$\overrightarrow{c}$+$\overrightarrow$），
∴（1+x，y）=λ（x，1+y），
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+x=λx}\\{y=λ（1+y）}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{λ-1}}\\{y=\frac{λ}{1-λ}}\end{array}\right.$，
∴|$\overrightarrow{c}$|²=$\frac{1}{（λ-1）^{2}}$+$\frac{{λ}^{2}}{（λ-1）^{2}}$=$\frac{1+{λ}^{2}}{1+{λ}^{2}-2λ}$，
令y=$\frac{1+{λ}^{2}}{1+{λ}^{2}-2λ}$，則（y-1）x²-2yx+y-1=0，此方程有實(shí)根，
由△=4y²-4（y-1）²≥0得，2y-1≥0，解得y≥$\frac{1}{2}$，
即|$\overrightarrow{c}$|²≥$\frac{1}{2}$，
∴|$\overrightarrow{c}$|≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本小題主考查向量的數(shù)量積及向量模的相關(guān)運(yùn)算問(wèn)題，兩個(gè)向量是互相垂直的單位向量，這給運(yùn)算帶來(lái)很大方便，利用數(shù)量積為零的條件時(shí)進(jìn)行移項(xiàng)，向量求模的方法是根據(jù)模的平方等于向量的平方，考查了很少用的“判別式法求函數(shù)的最值”，難度較大．